伯恩施坦不等式

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概率论中,伯恩施坦不等式(Bernstein inequalities)给出了随机变量的和对平均值偏离的概率。在最简单的情况下,设是独立的伯努利随机变量,取值+1和-1的概率各是1/2,则对任意正数

伯恩施坦不等式由谢尔盖·伯恩施坦于1920年代证明,并于1930年代发表[1][2][3][4]。之后,这些不等式多次被其他数学家独立地发现。因此,伯恩施坦不等式的一些特例也被称为Chernoff界,Hoeffding不等式,以及吾妻不等式

不等式[编辑]

1.设是数学期望为0的独立的随机变量。若对所有几乎必然成立,则对任意正数

2.设是独立的随机变量。若存在正实数,使得对任意整数,都有,则对

3.设是独立的随机变量。若对任意整数,都有,记,则对于

4.伯恩施坦也把以上不等式推广到弱相关随机变量的情况。例如,不等式(2)可以推广成以下形式。可以不是独立随机变量。若对任意正整数

则对于

另见[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ S.N.Bernstein, "On a modification of Chebyshev’s inequality and of the error formula of Laplace" vol. 4, #5 (original publication: Ann. Sci. Inst. Sav. Ukraine, Sect. Math. 1, 1924)
  2. ^ Bernstein, S. N. (1937). "Об определенных модификациях неравенства Чебышева" [On certain modifications of Chebyshev's inequality]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 17 (6): 275–277.
  3. ^ S.N.Bernstein, "Theory of Probability" (俄语), Moscow, 1927
  4. ^ J.V.Uspensky, "Introduction to Mathematical Probability", McGraw-Hill Book Company, 1937