函數域

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代數幾何中,一個整概形 函數域 上的有理函數組成;對於一般的概形,相應的對象是有理函數層雙有理幾何研究的便是由 所決定的幾何性質。

整概形的情形[编辑]

定義[编辑]

是仿射整概形, 為開集,則定義 分式域。此時 的分式域的常數層

是整概形,而非仿射概形,則任何非空仿射開集都稠密。對任何開集 ,可以一致地定義 ,其中 是任一非空仿射開集;這仍然是對應到一個域的常數層,該域稱之為 函數域。另一種等價定義是 一般點的莖。

函數域與維度[编辑]

為不可約 -代數簇,則 的域擴張,有時也寫作 。此擴張的超越次數等於 ,此命題可以化約到仿射簇的情形,再以諾特正規化引理證明。

例子[编辑]

  • 的函數域是

以下設

  • 單點 的函數域是 本身。
  • 仿射直線 與射影直線 的函數域都是 ,其中 上的超越元。
  • 考慮平面曲線 ,其函數域是 ,其中 上滿足 的超越元;一般代數曲線的函數域可以依此類推。當 有限域時,-代數曲線的函數域與數域之間有深刻的類比。

一般概形的情形[编辑]

不是整概形時, 在開集上的截面可能有零因子,此時分式域並不存在(詳見 Kleiman 的文章)。正解如下:

對任一開集 ,令 中的非零因子集,這是一個積性集。命 (即 全分式環)。 構成 上的預層。令 為其層化,此即 有理函數層,它是 -代數構成的層。

局部上可以分解成有限個整概形 (這對局部諾特概形皆成立),則對任何開集

此時 上的擬凝聚層

與亞純函數域的關係[编辑]

在複代數幾何中,基本的對象是不可約複解析簇,其上能局部地開展複分析,由此可以定義複解析簇上的亞純函數亞純函數域是該簇上的亞純函數之集合。在不可約 -代數簇上,有理函數必為亞純函數,反之則不然(考慮 );若加上緊緻條件,則可證明此時亞純函數域確等於有理函數域。

文獻[编辑]

  • Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 (法语). 
  • Kleiman, S., "Misconceptions about KX", Enseign. Math. 25 (1979), 203-206