微元法

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微元法differential element method),也叫元素法微元素法无穷小元素的求和法,是数学物理中常用的一种求解数学和物理问题的方法。

概述[编辑]

在求解力学量和物理量的实际应用中,很多新量的建立需要类似定积分中在求解面积和路程问题时分割、近似、求和、取极限的过程,为了使这一过程简化,微元法也就应运而生,微元法本身就是定积分的原始思想,它可以看做分割、近似、求和、取极限的简略过程,所以微元法也是一种思想方法。

历史上,在微积分的理论基础还不清楚,微分还没有严格定义时,微分被理解为一个比零大,但又比任何正数小的神秘的“数”,是无法理解的,这与现代明确的微分定义是不同的,它所对应的被度量的物理量就是微元。微元就是用这种无限小“微分”度量的具体的量,把微元理解为一个“无限小的过程”即“元过程”,这个“过程”可以是角度线段、面、体,还可以是时间位移等等,积分便是这些“无限小过程”之和,在求解力学量和物理量时,用这种想法可以快速地建立新量的积分表达式,因为这种想法方便实用,简便快捷,所以应用相当广泛。

微积分的理论基础严格建立起来之后,旧的微分概念被抛弃了,取而代之的是现在的微分概念,微元法也有了严格的叙述方式,但在实际应用中,严格叙述较为繁琐,所以往往还是采用过去的理解,把微元看做“无限小的过程”。

内容[编辑]

假设在某一实际问题中,对于给定的连续函数,量有以下三个特点:

1.一方面,是由区间所决定的常量,不妨记之为.另一方面,当考虑右端点变动的区间时,又依赖于而成为变量,也就是说,它又是的函数而简记为。 2.对于的每个子区间,都有确定的值,并且关于区间有可加性,即若,则

3.部分量的近似值可表示为

为了计算出量并把它表达为积分的形式,我们采取两个步骤:

第一步(分割、近似),将区间进行分割,而得到

,

并求出(即)的近似值.

第二步(求和、取极限),将关于求和得到

取极限,由于连续函数的可积性,最后得

.

接下来我们把这个过程进行简化.

由上式可以知道

.

如果略去足码,而将任意的小区间记为,并取的近似值为,由微分形式的微积分基本定理[1]可知,它恰恰是微分,即.于是在实际应用上,上述两个步骤可以简述为

第一步,在区间上计算的微分.

第二步,在上求和(求积)得

.


不论是几何的物理的还是其他科学技术的量,只要它具有上述的三个特点,我们就可以用这个一般的程式求出它。这种方法通常称为无穷小元素的求和法微元法。而则称为无穷小元素微元。由于在力学和物理学的大部分问题中,通过问题的实际意义可以知道,所求量的函数是连续函数,因此微元法总是可以应用的。

注释[编辑]

  1. ^ 微分形式的微积分基本定理: 若函数,则,且有.

参考资料[编辑]

  • 《微积分学教程》菲赫金哥尔茨编
  • 《数学分析》宋国柱等编
  • 《数学分析(第三版)》华东师范大学数学系编
  • 《高等数学(第六版)》同济大学数学系编