截角 (幾何)

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Conway tC.png
截角示意圖,其將欲截去頂點的位置標記出來。
Regular polygon truncation 4 1.svg
截角的正方形是一個
正八邊形[1]
t{4} = {8}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.png = CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.png
Truncated hexahedron.png
截角的立方體是一個
截角立方體[2]
t{4,3} 或 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Truncated cubic honeycomb.png
截角的立方體堆砌是一個
截角立方體堆砌[3]
t{4,3,4} 或 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png

幾何學中,截角[4]是一種將幾何形狀頂點截去的操作,也就是一種將多邊形多面體、密鋪、鑲嵌或更高維的多胞體切去頂點,並在切去的頂點建立新的面、邊與頂點的一種多面體變換[5]。這個詞來自開普勒阿基米德立體命的名稱,其中有七種阿基米德立體可使用柏拉圖立體套用截角變換構造。[6]

定義[编辑]

在幾何學中,截角是一種針對多面體或多胞形的變換,若有一個多胞形P,則對P的截角計為tP,其定義為對P截角會產生一個新的多胞形tP,該多胞形為截去P的所有頂點,並將被截去的部分以該頂點對應的頂點圖替換之,而此項由頂點圖替換的元素稱為截面[7]。一個多胞形P的截角結果tP一般會由兩種維面組成,一是截角變換產生的截面、二是多胞形P原本的維面被截角後的像[7]。未截去所有頂點的截角操作稱為部分截角(partial truncate)[7],如部分截角截四階角五角化二十四面體(只截特定角的五角化二十四面體)、截對角六方偏方面體(截頂角的偏方面體)或平截頭體(截頂角的錐體,又稱錐台[8]。由於有時某些立體的部分截角通常以截角稱呼,因此部分文獻會用完全截角(Fully truncate)來區分這種情況[9]

均勻截角[编辑]

截角產生的正多邊形

一般而言,任何多面體都可以以任何深度或角度進行截角,但也有一些切法符合所謂正規或均勻多面體的標準,例如:康威多面體表示法中的t(截角操作)。[10]

若不是任意截角的話,就是特殊的截角。特殊的截角通常暗示著它是一個均勻的截角,也就是說,施加在正多面體上會得到一個等邊的半正多面體均勻多面體。它的幾何意義是固定的,就像正多面體[11]

截角多邊形[编辑]

一個若多邊形的邊數為n,則截角後會形成邊數為2n的多邊形,換句話說n邊形的截角結果為2n邊形。舉例來說,三角形的截角結果通常為六邊形[12]。而多邊形的最大截角,即截角截至中點(又稱截半)則會導致多邊形變為對偶多邊形[13]

三角形截角的各個深度
Regular truncation 3 0.0.svg
{3}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Regular truncation 3 0.2.svg Regular truncation 3 0.333.svg
t{3} = {6}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
Regular truncation 3 0.45.svg Regular truncation 3 0.5.svg
r{3} = {3}
CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png

截角多面體或更高維的圖形[编辑]

立方體截角的各個深度

當截角一詞被用在正多面體或正鑲嵌圖上時,通常代表「均勻截角[14],其通常代表截角截至所有面都是正多邊形的深度。

Cube truncation sequence.svg

上表則展示了立方體透過截角深度不斷加深的截角變換將立方體變換為截角立方體和截半立方體的過程。

原像 (幾何)施萊夫利符號中計為{p,q,...},則在上圖表中間的紫色截角結果可以記為t{p,q,...}[15]。而截半為截角截到原本的稜消失,因此截半也稱為完全截角[16]

繼續更深入地截角同樣可以產生被截之面為正多邊形面的均勻截角形式。比截半再更深入的均勻截角形式為過截角。過截角的效果為移除多面體面的所有邊,但有保留部分多面體原有面的內部之局部。截角八面體則為立方體套用過截角變換後的像。[17]

過截角同樣也存在完全截角的形式,即完全過截角,又稱為過截半或雙截半。其效果為截角截到原有面消失的深度[18]。大部分的三維圖形經過過截半變換後會轉變為對偶多面體,例如正八面體為立方體過截半的結果,在施萊夫利符號中可以用2r{4,3}表示。

原像 較淺的截角 均勻截角 較深的截角 截半 過截角 對偶
Tetrahedron with yellow triangle.svg
正四面體
Nonuniform truncated tetrahedron with red triangle and yellow hexagon.svg Truncated tetrahedron with red triangle and yellow hexagon.svg
截角四面體
Nonuniform bitruncated tetrahedron with red triangle and yellow hexagon.svg Rectified tetrahedron with red triangle and yellow triangle.svg
正八面體
Truncated tetrahedron.png
截角四面體
Tetrahedron.png
正四面體
Octahedron with yellow triangle.svg
正八面體
Nonuniform truncated octahedron with red square and yellow hexagon.svg Truncated octahedron.png
截角八面體
Nonuniform bitruncated cube with red square and yellow hexagon.svg Cuboctahedron.png
截半立方體
Truncated hexahedron.png
截角立方体
Hexahedron.png
立方體
Uniform polyhedron-53-t2.png
正二十面體
Nonuniform truncated icosahedron.png Small snub icosicosidodecahedron convex hull.png
截角二十面體
Rhombidodecadodecahedron convex hull.png Icosidodecahedron.png
截半二十面體
Truncated dodecahedron.png
截角十二面体
Dodecahedron.png
正十二面體
Yellow small stellated dodecahedron.svg
小星形十二面體
Truncated small stellated dodecahedron with red pentagon and yellow decagram.svg Truncated small stellated dodecahedron with red pentagon and yellow degenerate decagon.svg
截角小星形十二面體
Bitruncated great dodecahedron with red pentagon and yellow decagram.svg Rectified great dodecahedron with red pentagon.svg
截半大十二面體
Great truncated dodecahedron with red decagon.svg
截角大十二面體
Great dodecahedron.png
大十二面體
Great stellated dodecahedron with yellow pentagram.svg
大星形十二面體
Nonuniform truncated great stellated dodecahedron with red triangle.svg Truncated great stellated dodecahedron with red triangle.svg
截角大星形十二面體
Nonuniform bitruncated great icosahedron with red triangle.svg Great icosidodecahedron with red triangle and yellow pentagram.svg
大截半二十面体
Great truncated icosahedron with yellow pentagram.svg
截角大二十面體
Great icosahedron.png
大二十面體

裁邊[编辑]

裁邊又稱截邊裁稜截稜是一種與截角類似的操作,其為將一個幾何結構的所有稜或邊切去。裁邊在三維空間中稱為倒角,其結果為將多面體的所有稜替換成六邊形面[19]。在四維空間中則會使幾何結構的所有稜被替換為雙角錐柱形狀的胞。[20]

Chamfered cube example.png

廣義截角[编辑]

各種在等邊多面體的稜上截角的示意圖,紅色與藍色的頂點為多面體原始頂的以及其位置。綠色框起來為原始的多面體稜。由上而下為:反截角、原始圖形、淺截角、截半、超截角、超截半和星形截角。

線性的截角可以推廣到負的截角深度,或截到中點後將邊反向連接形成邊自相交的多邊形作為截角深度更深的截角結果,這種截角有時稱為超截角或星形截角。透過這種廣義的截角可以行稱一些星形多面體和一些均勻多面體[21]

  • 淺截角:原有邊的長度減短、面被截成邊數為原有邊數兩倍的多邊形,且截面以舊頂點為中心。[22]
  • 反截角:一種與淺截角相反的截角[23]
  • 均勻截角:截角結果為所有稜等長的各類截角之特例[14][15]
  • 完全截角:又稱截半,為淺截角的極限,其結果會使原有幾何圖形的邊變成一個點[16]
  • 超截角:比截半更深入的截角形式,由於超出了截半的截角深度,其使原始的邊反轉(向外延伸到截面),並導致出現同一立體面與邊自我相交的情況。[24]
  • 星形截角:比超截角更深入的截角。若將一般的截角視為將面向外移動並將空處補上截面(例如截角的正方形為八邊形,可以視為將正方形的四條邊遠離幾何中心再將4個空隙處補上截邊),則星形截角則可以視為面的處理與一般截角反向的截角結果(例如星形截角的正方形為八邊形,可以視為將正方形的四條邊向幾何中心靠近,此時四條邊兩兩相交,再將4個空隙處補上截邊,形成星形八邊形),其可以將部分幾何圖形轉變成星形[25]
正方形在各種截角深度下的廣義截角
Types of truncation on square4.png
立方體在各種截角深度下的廣義截角
Cube truncation 3.75.png
Cube truncation 0.00.png
立方體
{4,3}
Cube truncation 0.25.png
Cube truncation 0.50.png
截角
t{4,3}
Cube truncation 0.75.png
Cube truncation 1.00.png
截半
r{4,3}
Cube truncation 1.25.png
Cube truncation 3.50.png
反截角
Cube truncation 1.50.png
超截角
Cube truncation 3.25.png
Cube truncation 3.00.png
星形截半
Cube truncation 2.75.png
Cube truncation 2.50.png
星形截角
t{4/3,3}
Cube truncation 2.25.png
Cube truncation 2.00.png
超截半
Cube truncation 1.75.png

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Wenninger, Magnus J., Polyhedron Models, Cambridge University Press: 9, 1974, ISBN 9780521098595 .
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Truncated Cube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  3. ^ George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表)
  4. ^ 截尖,截角 - 學術名詞:工程圖學. 雙語詞彙、學術名詞暨辭書資訊網. 國家教育研究院. [2017-02-21]. (原始内容存档于2017-02-22). 
  5. ^ Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes英语Regular Polytopes (book), (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (pp. 145–154 Chapter 8: Truncation)
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Truncation. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Olshevsky, George, Truncation at Glossary for Hyperspace.
  8. ^ William F. Kern, James R. Bland, Solid Mensuration with proofs, 1938, p. 67
  9. ^ Berman, Leah Wrenn; Monson, Barry; Oliveros, Déborah; Williams, Gordon I. Fully truncated simplices and their monodromy groups. Advances in Geometry (De Gruyter). 2018, 18 (2): 193––206. 
  10. ^ George W. Hart. Conway Notation for Polyhedra. Virtual Polyhedra. 1998. 
  11. ^ Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
  12. ^ The Truncations. science.larouchepac.com. [2019-10-16]. (原始内容存档于2016-01-17). 
  13. ^ Reid, Samuel. Rectifications of Convex Polyhedra. arXiv preprint arXiv:1604.00580. 2016. 
  14. ^ 14.0 14.1 N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
  15. ^ 15.0 15.1 Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter页面存档备份,存于互联网档案馆, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  16. ^ 16.0 16.1 Zofia Grabowieck. The decoration of a Coxeter–Dynkin diagram andthe Schl ̈afli symbol as two methods to describepolytopes generated by finite reflection groups. Journal of Physics: Conference Series. 2019, 1194. doi:10.1088/1742-6596/1194/1/012039. 
  17. ^ Diudea, M.V. Multi-shell Polyhedral Clusters. Carbon Materials: Chemistry and Physics. Springer International Publishing. 2017: 26. ISBN 9783319641232. 
  18. ^ Tony Forbes. Regular polytopes (PDF). maths.qmul.ac.uk. December 2014 [2019-10-17]. (原始内容 (PDF)存档于2018-10-08). 
  19. ^ Dr. Richard Klitzing. cube-trunc-rad, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2019-11-05]. 
  20. ^ Richmond S. Newman. Crystallization in systems of hard polyhedra (PDF). semanticscholar.org. 
  21. ^ Ragnar Torfason. Polyhedron Models for the Classroom. theweebsite.com. 2006-06-03 [2019-10-22]. (原始内容存档于2013-06-10). 
  22. ^ Yackel, C. and belcastro, sarah-marie. Figuring Fibers. Miscellaneous Books. American Mathematical Society. 2018: 146. ISBN 9781470429317. LCCN 2018033586. 
  23. ^ truncation. 2015-07-01 [2019-10-22]. (原始内容存档于2019-04-14). 
  24. ^ Truncated Polytopes. bendwavy.org. [2019-10-28]. (原始内容存档于2019-05-13). 
  25. ^ Stellated Truncated Hexahedron. software3d.com. [2019-10-28]. (原始内容存档于2019-10-28). 

外部連結[编辑]

多面體變換
原像 截角 截半 過截角 對偶 小斜方截半英语Expansion (geometry) 大斜方截半英语Omnitruncation 交錯
CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node n1.pngCDel q.pngCDel node n2.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.png CDel node.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel p.pngCDel node h.pngCDel q.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.png Uniform polyhedron-43-t01.png Uniform polyhedron-43-t1.png Uniform polyhedron-43-t12.png Uniform polyhedron-43-t2.png Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-43-h01.png Uniform polyhedron-43-s012.png
t0{p,q}
{p,q}
t01{p,q}英语Truncated polyhedron
t{p,q}
t1{p,q}
r{p,q}
t12{p,q}英语Bitruncated polyhedron
2t{p,q}
t2{p,q}
2r{p,q}
t02{p,q}英语Cantellated polyhedron
rr{p,q}
t012{p,q}英语Omnitruncated polyhedron
tr{p,q}
ht0{p,q}
h{q,p}
ht12{p,q}英语Snub polyhedron
s{q,p}
ht012{p,q}英语Snub polyhedron
sr{p,q}