環索線

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StrophoidConstruction.svg

环索线(strophoid)是几何学中的一種曲線,由給定曲線C、點A(固定點)及點O(極點),依以下方式產生:令L是通過O,和曲線C的交點為K的變動直線。令P1P2是直線L上的兩點,這兩點和K的距離和AK的距離相同(因此AP1P2在圓心為O為圓上)。K點的轨迹即為曲線C的环索线,相對於極點O及固定點A。 其中AP1AP2會呈直角。

C是直線,AC上,而O不在C上,此曲線稱為斜環索線(oblique strophoid)。若OAC垂直,此曲線則稱為正環索線(right strophoid),正環索線也稱為logocyclic curve或葉狀線(foliate)。

方程式[编辑]

極坐標[编辑]

令曲線C的極坐標方程為,其中原點為O,令A的直角坐標為(a, b),若是曲線上的一點,KA的距離為

.

OK線上的點,其極座標角度為,線上和點K距離為d的點,和原點的距離為。因此,環索線的方程如下

另一種極座標公式[编辑]

C是極點為OA麥克勞林分角線英语sectrix of Maclaurin時,可以用以下的極座標公式。

O為原點,A為點(a, 0),令K為曲線上一點,線OK和X軸的夾角為,而 是線AK和和X軸的夾角。假設可以表示為的函數,假設。令K的角度,則。可以用正弦定律,將rl來表示。因為

P1P2OK線上和K點的距離等於AK的點,調整編號使,且是頂角為的等腰三角形,剩下的兩角角度為AP1線和x軸角度為

同理可得AP2和x軸的角度為

.

環索線的極座標式可以表示以下有l1l2的式子:

l,曲線C是極點為OA的麥克勞林分角線,此時,l1l2會有相同的型式,因此環索線可以是另一個麥克勞林分角線,或是一對這類的曲線。若原點往右移a的位置,也會有較簡單的極座標方程。

特例[编辑]

斜環索線[编辑]

C是通過A點的直線。依照上式的表示法,,其中為常數,則。相對原點O點環索線的極座標(斜環索線)方程為

以及

.

可以確定上式二式描述的是同一條直線。

將原點移到A點,用−a代替a,可得

,

旋轉角度後可得

.

在直角坐標系,調整常數的參數,可得

.

是三次曲線,在極座標下是有理函數,其叉點在(0, 0),漸近線為直線y=b

正環索線[编辑]

正環索線

代入下式

可得

.

此即為正環索線,對應直線Cy軸,A點為原點,O點為點(a,0)的情形。

笛卡尔坐标系方程為

.

此曲線為笛卡儿叶形线[1],直線x = −a是二個分支的渐近线。此曲線還有二條漸近線,分別是複數平面上的

[编辑]

令圓C是通過OA的圓,其中O為原點,A的座標為(a, 0)。依以上的表示法,,其中是常數。則以及,所得相對於圓O環索線(oblique strophoid)的極座標方程為

.

這是二個通過OA,在C點形成角度的圓。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^  Chisholm, Hugh (编). Logocyclic Curve, Strophoid or Foliate. 大英百科全書 16 (11th ed.). 劍橋大學出版社: 919. 1911. 

外部連結[编辑]

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