相平面

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相平面(phase plane)是在应用数学(特別是非線性系統)中,視覺化的展示特定微分方程特徵的方式。相平面是一個由二個狀態變數為座標軸組成的平面,例如說(x, y)或(q, p)等。相平面是多維度相空間二维空间中的例子。

相平面法(phase plane method)是指用繪圖的方式,來確認微分方程的解中是否存在極限環

微分方程的解可以形成函数族。用繪圖的方式,可以畫在二維的相平面上,類似二維的向量場。向量會表示某一點對應特定參數(例如時間)的導數,也就是(dx/dt, dy/dt),會繪製在對應的點上,以箭頭表示。若有夠多的點,就可以分析此區域內的系統行為,若有極限環,也可以識別出來。

整個場即可形成相圖,在流線上的特定路徑(一個永遠和向量相切的路徑)即為相路徑(phase path)。向量場上的相表示微分方程所說明的系統隨時間的演化。

相平面可以用來解析物理系统的行為,特別是振盪系統,例如獵食者-獵物模型英语predator-prey model(可參考洛特卡-沃爾泰拉方程)。這些模型中的相路徑可能是向內旋轉,慢慢趨近0,也可能是向外旋轉,慢慢趨近無限大,或是接近中性的平衡位置,此情形稱為centre,路徑可能是圓形、橢圓或是其他形狀。在判斷其系統是否穩定時很有用[1]

另一個振盪系統的例子是一些多步的化學反應,其中有些會有化學平衡,不是完全反應。此情形下可以將反應物及生成物濃度(或質量)的變化利用微分方程來建模,可以對其化学动力学有更清楚的瞭解[2]

線性系統的例子[编辑]

二維的线性微分方程系統可以寫成以下的形式[1]

可以整理為矩阵方程式:

其中A是2 × 2的係數矩陣英语coefficient matrix,而x = (x, y)是二個自變量組成的座標向量英语coordinate vector

此系統可以解析求解,例如積分下式[3]

不過此解是xy隐函数,也不容易詮釋[1]

用特徵值求解[编辑]

上述方程常見的解法是用右邊矩陣型式的係數,利用特徵值求解,利用以下的行列式求得:

以及以下的特徵向量

特徵值表示指數項的幂次,而特徵向量為其係數。若將解寫成代數型式,可以表示為幾個指數項配合對應係數的和。因為特徵向量的唯一性,每一個此方式得到的解會有待確定的係數c1, c2, ... cn.

通解為:

其中λ1和λ2是特徵值,而(k1, k2), (k3, k4)是基礎特徵向量。係數c1c2和特徵向量的唯一性有關,只有在初始條件已知時才能求解。

上述行列式可以得到以下的特徵多項式

是以下型式的一元二次方程

其中;

("tr"表示矩陣的)以及

特徵值的顯式解可以由求得二次方程而得:

其中

特徵向量及節點[编辑]

特徵向量及節點會決定相路徑的輪廓,可以用圖像來描繪動態系統的解,如下所述:

线性自治系统平衡點的分類[1]。若是非線性自治系统,進行線性化近似後也會有類似的分類

要畫相平面時,會先畫對應二個特徵向量的直線(表示系統既不趨近直線,也不遠離直線的穩定條件)。之後相平面就會用有箭頭的實線代替有向量場上每點的箭頭。特徵值的正負號會影響的相平面的特點:

  • 若二個符號一正一負,特徵向量的交點為鞍點
  • 若二個符號都為正,表示系統會遠離特徵向量,交點是不穩定節點
  • 若二個符號都為負,表示系統會趨向特徵向量,交點是穩定節點。

以上說明可以用微分方程解中指數解的行為來理解。

重覆的特徵值[编辑]

若是二個特徵值為相同的實數,會需要透過一個未知的向量以及第一個特徵向量來求解係數矩陣,產生第二個解。不過若系統對應,也可以用正交的特徵向量來產生第二個解。

有虛部的特徵值[编辑]

有虛部的複數特徵值,表示其解包括有[正弦]]及餘弦函數(可以表示為幂次為複數的次數)。此情形比較簡單,只需要一個特徵值以及一個特徵向量就可以產生系統的完整解。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 D.W. Jordan; P. Smith. Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers 4th. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920825-8. 
  2. ^ K.T. Alligood; T.D. Sauer; J.A. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. Springer. 1996. ISBN 978-0-38794-677-1. 
  3. ^ W.E. Boyce; R.C. Diprima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 4th. John Wiley & Sons. 1986. ISBN 0-471-83824-1.  已忽略未知参数|url-access= (帮助)

外部連結[编辑]