在数学中,两个集合
和
的笛卡儿积(英語:Cartesian product),又称直积,在集合论中表示为
,是所有可能的有序对組成的集合,其中有序對的第一个对象是
的成员,第二个对象是
的成员。
。
舉個實例,如果集合
是13个元素的点数集合
,而集合
是4个元素的花色集合
♠, ♥, ♦, ♣
,则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合
♠
♠
♠
♣
♣
♣
。
笛卡儿积得名于笛卡儿,因為這概念是由他建立的解析几何引申出來。
笛卡儿积的性质[编辑]
易见笛卡儿积满足下列性质:
- 对于任意集合
,根据定义有
- 一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
- 笛卡儿积对集合的并和交满足分配律,即





- 若一個集合
包含有無限多的元素,那這個集合對自身的笛卡爾積
有和
一樣多的元素。
笛卡儿平方和n元乘积[编辑]
集合
的笛卡儿平方(或二元笛卡儿积)是笛卡儿积
。一个例子是二维平面
,(这里
是实数集) - 它包含所有的点
,这里的
和
是实数(参见笛卡儿坐标系)。
为了幫助枚舉,可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列,从行和列的集合选择元素,以形成有序对作为表的单元格。
可以推广到在
个集合
上的n-元笛卡儿积:
。
实际上,它可以被等同为
。它是n-元组的集合。
一个例子是欧几里得三维空间
,这里的
同樣是指实数集。
无穷乘积[编辑]
对最常用的数学应用而言,上述定义通常已經足夠。但是,也可以在任意(可能无限)的集合的搜集上定义笛卡儿积。
如果
是任何指标集合,而

是由
索引的集合的搜集,则我们定义
,
就是定义在索引集合上的所有函数的集合,使得这些函数在特定索引
上的值是
的元素。
对在
中每个
,定义自

的函数

叫做第
投影映射。
n-元组可以被看作在
上的函数,它在
上的值是这个元组的第
个元素。所以,在
是
的时候,这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义給出的是集合族。
在无限情况,一個令人熟悉的特例是,當索引集合是自然数集
的时候:这正是其中第i项对应于集合
的所有无限序列的集合。再次,
提供了这样的一个例子:

是实数的无限序列的搜集,可視之为带有無限個构件的向量或元组。另一个特殊情况(上述例子也满足它)是在乘积中的各因子Xi都是相同的时候,类似于“笛卡儿指数”。這樣,在最先定义中的无限并集自身就是这个集合自身,而其他条件被平凡的满足了,所以这正是从I到X的所有函数的集合。
在別的情況,无限笛卡儿积就不那麼直觀了;尽管在高等数学中的應用有其价值。
“非空集合的任意非空搜集的笛卡儿积为非空”這一陳述等价于选择公理。
函数的笛卡儿积[编辑]
如果
是从
到
的函数,而
是从
到
的函数,则它们的笛卡儿积
是从
到
的函数,带有

跟之前類似,函数的笛卡儿积也可以扩展到函数的元组和无限情況。
外部链接[编辑]