笛卡儿积

在数学中，两个集合 $X$ 和 $Y$ 的笛卡儿积（英語：Cartesian product），又称直积，在集合论中表示为 $\,X\times Y$ ，是所有可能的有序对組成的集合，其中有序對的第一个对象是 $\,X\,$ 的成员，第二个对象是 $\,Y\,$ 的成员。

X\times Y=\left\{\left(x,y\right)\mid x\in X\land y\in Y\right\}

。

舉個實例，如果集合 $\,X\,$ 是13个元素的点数集合 $\left\{A,K,Q,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2\right\}$ ，而集合 $\,Y\,$ 是4个元素的花色集合 $\{$ ♠, ♥, ♦, ♣ $\}$ ，则这两个集合的笛卡儿积是有52个元素的标准扑克牌的集合 $\{(A,$ ♠ $),(K,$ ♠ $),...,(2,$ ♠ $),...,(A,$ ♣ $),...,(3,$ ♣ $),(2,$ ♣ $)\}$ 。

笛卡儿积得名于笛卡儿，因為這概念是由他建立的解析几何引申出來。

笛卡儿积的性质[编辑]

易见笛卡儿积满足下列性质：

对于任意集合 $A$ ，根据定义有 $A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing$
一般来说笛卡儿积不满足交换律和结合律。
笛卡儿积对集合的并和交满足分配律，即

A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)

(B\cup C)\times A=(B\times A)\cup (C\times A)

A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)

(B\cap C)\times A=(B\times A)\cap (C\times A)

(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)

若一個集合 $A$ 包含有無限多的元素，那這個集合對自身的笛卡爾積 $A\times A$ 有和 $A$ 一樣多的元素。

笛卡儿平方和n元乘积[编辑]

集合 $X$ 的笛卡儿平方（或二元笛卡儿积）是笛卡儿积 $X\times X$ 。一个例子是二维平面 $R\times R$ ，（这里 $R$ 是实数集） - 它包含所有的点 $(x,y)$ ，这里的 $x$ 和 $y$ 是实数（参见笛卡儿坐标系）。

为了幫助枚舉，可绘制一个表格。一个集合作为行而另一个集合作为列，从行和列的集合选择元素，以形成有序对作为表的单元格。

可以推广到在 $n$ 个集合 $X_{1},...,X_{n}$ 上的n-元笛卡儿积:

X_{1}\times \ldots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{1}\in X_{1}\;\land \;\ldots \;\land \;x_{n}\in X_{n}\}

。

实际上，它可以被等同为 $\left(X_{1}\times ...\times X_{n-1}\right)\times X_{n}$ 。它是n-元组的集合。

一个例子是欧几里得三维空间 $R\times R\times R$ ，这里的 $R$ 同樣是指实数集。

无穷乘积[编辑]

对最常用的数学应用而言，上述定义通常已經足夠。但是，也可以在任意（可能无限）的集合的搜集上定义笛卡儿积。

如果 $I$ 是任何指标集合，而

\{X_{i}\ |i\in I\}

是由 $I$ 索引的集合的搜集，则我们定义

\prod _{i\in I}X_{i}=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ |\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\}

，

就是定义在索引集合上的所有函数的集合，使得这些函数在特定索引 $i$ 上的值是 $X_{i}$ 的元素。

对在 $I$ 中每个 $j$ ，定义自

\pi _{j}(f)=f(j)\

的函数

\pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j}\

叫做第 $j$ 投影映射。

n-元组可以被看作在 $\left\{1,2,...,n\right\}$ 上的函数，它在 $i$ 上的值是这个元组的第 $i$ 个元素。所以，在 $I$ 是 $\left\{1,2,...,n\right\}$ 的时候，这个定义跟有限情况的定义是一致的。在无限情况下这个定义給出的是集合族。