等諧數列

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等諧数列,又名調和数列(英文:harmonic sequence 或 harmonic progression),是数列的一种。在等諧数列中,任何相邻两项倒數的差相等,该差值的倒數称为公諧差(common harmonic difference)。

例如数列:

1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/9 , 1/11 , 1/13 , ...

就是一个等諧数列。 在这个数列中,从第二项起,每项与其前一项之公諧差都等于 1/2

性質[编辑]

如果一个等諧数列的首项記作 a,公諧差記作 h,那么该等諧数列第 nan 的一般項为:

換句話說,任意一個等諧数列 {an} 都可以寫成


在一個等諧數列中,給定任意兩相連項 an+1an ,可知公諧差

給定任意兩項 aman ,則有公諧差


此外,在一個等諧数列中,選取某一項,該項的前一項與後一項之倒數和,為原來該項倒數的兩倍。舉例來說,

更一般地說,有:

證明如下:

證畢。


從另一個角度看,等諧數列中的任意一項,是其前一項和後一項的調和平均

此結果從上面直接可得。


如果有正整數 m, n, p, q,使得 ,那么则有:

證明如下:


由此可將上面的性質一般化成:

其中 k 是一個小於 n 的正整數。


給定一個等諧數列 ,則有:

  • 是一個等諧數列。
  • 是一個等差數列

等諧数列和[编辑]

一個等諧數列的首 n 項之和,稱為等諧数列和(sum of harmonic sequence)或調和級數(harmonic series),記作 Sn

舉例來說,等差數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的和是 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/9 = 248/315


等諧數列並沒有簡單的求和公式。但使用以下反常積分,可對數列和以數值積分作估算:

公式證明如下:

最後一步,使用了等比數列的求和公式。


使用上面的例子,對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9}

結果相等。


從這公式中容易看出,等諧級數是發散的。

等諧数列积[编辑]

一個等諧數列的首 n 項之積,稱為等諧数列積(product of harmonic sequence),記作 Pn

舉例來說,等諧數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9} 的積是 1/3 × 1/5 × 1/7 × 1/9 = 1/945


等諧数列積的公式可以Γ函數表示:

證明如下:

這裡使用了等差數列的求積公式。


使用上面的例子,對於數列 {1/3, 1/5, 1/7, 1/9}

結果相等。

参见[编辑]

参考文献[编辑]