在统计学中,一个概率样本的置信区间(英語:Confidence interval,CI),是对产生这个样本的总体的参数分布(Parametric Distribution)中的某一个未知参数值,以区间形式给出的估计。相对于点估计(Point Estimation)用一个样本统计量来估计参数值,置信区间还蕴含了估计的精确度的信息。在现代机器学习中越来越常用的置信集合(Confidence Set)概念是置信区间在多维分析的推广[1]。
置信区间在频率学派中间使用,其在贝叶斯统计中的对应概念是可信区间(Credible Interval)。两者建立在不同的概念基础上的,贝叶斯统计将分布的位置参数视为随机变量,并对给定观测到的数据之后未知参数的后验分布进行描述,故无论对随机样本还是已观测数据,构造出来的可信区间,其可信水平都是一个合法的概率[2];而置信区间的置信水平,只在考虑随机样本时可以被理解为一个概率。
- 对随机样本的定义
定义置信区间最清晰的方式是从一个随机样本出发。考虑一个一维随机变量
服从分布
,又假设
是
的参数之一。假设我们的数据采集计划将要独立地抽样
次,得到一个随机样本
,注意这里所有的
都是随机的,我们是在讨论一个尚未被观测的数据集。如果存在统计量(统计量定义为样本
的一个函数,且不得依赖于任何未知参数)
满足
使得:

则称
为一个用于估计参数
的
置信区间,其中的,
称为置信水平。
- 对观测到的数据的定义
接续随机样本版本的定义,现在,对于随机变量
的一个已经观测到的样本
,注意这里用小写x表记的
都是已经观测到的数字,没有随机性了,定义基于数据的
置信区间为:

注意,置信区间可以是单边或者双边的,单边的置信区间中设定
或者
,具体前者还是后者取决于所构造的置信区间的方向。
初学者常犯一个概念性错误,是将基于观测到的数据所同样构造的置信区间的置信水平,误认为是它包含真实未知参数的真实值的概率。正确的理解是:置信水平只有在描述这个同样构造置信区间的过程(或称方法)的意义下才能被视为一个概率。一个基于已经观测到的数据所构造出来的置信区间,其两个端点已经不再具有随机性,因此,类似的构造的间隔将会包含真正的值的比例在所有值中,其包含未知参数的真实值的概率是0或者1,但我们不能知道是前者还是后者[3]。
- 例1:正态分布,已知总体方差

水平的正态置信区间为:
(双边)
(单边)
(单边)
以下为方便起见,只列出双边置信区间的例子,且区间中用"
"进行简记:
- 例2:正态分布,未知总体方差

水平的双边正态置信区间为:

- 例3:两个独立正态样本
和
,样本大小为
和
,估计总体均值之差
,假设总体方差未知但相等:
(如果未知且不等就要应用Welch公式来确定t分布的自由度)
水平的双边正态置信区间为:
,其中
且
分别表示
和
的样本标准差。
构造法[编辑]
一般来说,置信区间的构造需要先找到一个枢轴变量(Pivotal quantity,或称Pivot),其表达式依赖于样本以及待估计的未知参数(但不能依赖于总体的其它未知参数),其分布不依赖于任何未知参数。
下面以上述例2为例,说明如何利用枢轴变量构造置信区间。对于一个正态分布的随机样本
,可以证明(此证明对初学者并不容易)如下统计量互相独立:
和 
它们的分布是:
和 
所以根据t分布的定义,有

于是反解如下等式左边括号中的不等式

就得到了例2中双边置信区间的表达式。
与参数检验的联系[编辑]
有时,置信区间可以用来进行参数检验。例如在上面的例1中构造的双边
水平置信区间,可以用来检验具有相应的显著水平为
的双边对立假设,具体地说是如下检验:
正态分布总体,知道总体方差
,在
显著水平下检验:
vs 
检验方法是:当且仅当相应的
水平置信区间不包含
时拒绝零假设
例1中构造的双边
水平置信区间也可以用来检验如下两个显著水平为
的单边对立假设:
vs 
和
vs 
检验方法是完全类似的,比如对于上述第一个单边检验
,当且仅当双边置信区间的左端点大于
时拒绝零假设。
参考文献[编辑]
- ^ Brittany Terese Fasy; Fabrizio Lecci; Alessandro Rinaldo; Larry Wasserman; Sivaraman Balakrishnan; Aarti Singh. Confidence sets for persistence diagrams. The Annals of Statistics. 2014, 42 (6): 2301–2339.
- ^ Box, George EP; Tiao, George C. Bayesian inference in statistical analysis. John Wiley & Sons. 2011.
- ^ Moore, D; McCabe, George P; Craig, B. Introduction to the Practice of Statistics. San Francisco, CA: Freeman. 2012.
参考书目[编辑]
- 羅納德·費雪 (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
- 弗罗因德 (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227–228.)
- 伊安·海金 (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge
- 齐平 (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
- 杰克·基弗(1977) "Conditional Confidence Statements and Confidence Estimators (with discussion)" Journal of the American Statistical Association, 72, 789–827.
- 泽西·内曼 (1937) "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability" Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333–380. (Seminal work.)
- G.K.罗宾逊 (1975) "Some Counterexamples to the Theory of Confidence Intervals." Biometrika, 62, 155–161.