聯合譜半徑

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聯合譜半徑(joint spectral radius)為一數學名詞,是將傳統上針對矩陣谱半径表示法,擴展到矩陣集合的表示法。近年來此表示法已應用在許多工程領域中,也是目前研究的熱門主題。

概述[编辑]

矩陣集合的聯合譜半徑是在集合中矩陣乘積的最大漸近成長率。針對有限集合(或是更廣義的緊湊集合),其聯合譜半徑定義如下:

可以證明其極限存在,而且其數值不會隨所選擇的矩陣範數種類而改變(這對任何矩陣範數都成立,不過若矩陣範數有次可乘性sub-multiplicative,更容易證明)。聯合譜半徑的概念是在1960年由麻省理工学院的兩位數學家吉安-卡洛·羅塔威廉·吉爾伯特·斯特朗發明[1],不過在英格丽·多贝西傑佛瑞·拉加里亞斯英语Jeffrey Lagarias的研究後,才開始受到注意[2],他們證明了聯合譜半徑可以用來描述特定小波函數的光滑性[3]。之後就提出了許多相關的應用。目前已知聯合譜半徑的量值求值,不論是要計算或只是近似,在運算複雜度上都是NP困难,就算集合中只有二個矩陣,其中所有非零元素都相同也是一樣[4]。而且, 這個問題是不可判定问题[5]。不過,近年來已對此問題有多一些的瞭解,似乎在實務上,可以計算聯合譜半徑到令人滿意的精度,而且對於一些工程及數學問題,可以有一些有趣的洞察。

計算[编辑]

近似演算法[编辑]

雖然在聯合譜半徑的可計算性理論上有一些負面的結果,不過已有提出一些在實務上可以良好運作的方法。目前已找到演算法,可以達到任意的精度,所需要的時間也是事先可以計算得知。這類的演算法可以視為是近似向量範數(稱為極值範數extremal norm)中的單位球[6]。一般會將演算法分為兩類:第一類是多義範數法(polytope norm method),透過計算點的長軌跡來建構極值範數[7][8],此方法的好處是在最理想的情形下,此方法可以找到聯合譜半徑的精確值,而且可以證明這個值就是正確值。

第二種方式是用「近代最佳化技巧」(modern optimization techniques)來近似極值範數,例如橢圓範數近似(ellipsoid norm approximation)[9]半正定规划[10][11]多項式平方和英语Polynomial SOS[12]圓錐規劃英语Conic optimization[13]。這些方法的好處是容易實現,而且實務上此方式所產生的聯合譜半徑,一般來說是在最理想的範圍內。

有限性猜想[编辑]

有關聯合譜半徑的可計算性,存在以下的猜想[14]

「針對任何有限個的矩陣集合,存在一個矩陣乘積使得

上式中的「」是指矩陣在傳統意義下的谱半径

此猜想在1995年提出,在2003年證否[15]。在參考資料中的反例用到了進階的量度理論(measure-theoretical)概念。之後,也找到了許多的反例,包括只用到簡單組合數學性質的矩陣[16]以及另一個用到動態系統概念的反例[17]。近來也提出了一顯式的反例[18]。許多相關的問題還沒有證明,例如對於成對的邏輯矩陣,此猜想是否成立[19][20]

應用[编辑]

聯合譜半徑的出現,是為了作為離散時間切換动力系统的穩定性條件。而以下方程定義的系統

李雅普诺夫稳定性若而唯若

因為英格丽·多贝西及傑佛瑞·拉加里亞斯將聯合譜半徑應用在小波函數的連續性上,因此聯合譜半徑受到許多人的注意。之後的應用包括有數論、信息理論、自治代理英语autonomous agent共識、字的組合數學英语combinatorics on words等。

相關的表示法[编辑]

聯合譜半徑是將一個矩陣的谱半径擴展到矩陣集合。不過也有其他可以適用於多個矩陣的量化表示法:

  • 聯合譜次幅(joint spectral subradius)表示由產生的半群最小成長速率乘積。
  • p-半徑(p-radius)表示此半群內乘積範數之平均的成長速率。
  • 矩陣集合的李亞普諾夫指數(Lyapunov exponent)表示其幾何平均的成長速率。

參考資料[编辑]

  1. ^ G. C. Rota and G. Strang. "A note on the joint spectral radius." Proceedings of the Netherlands Academy, 22:379–381, 1960. [1]
  2. ^ Vincent D. Blondel. The birth of the joint spectral radius: an interview with Gilbert Strang. Linear Algebra and its Applications, 428:10, pp. 2261–2264, 2008.
  3. ^ I. Daubechies and J. C. Lagarias. "Two-scale difference equations. ii. local regularity, infinite products of matrices and fractals." SIAM Journal of Mathematical Analysis, 23, pp. 1031–1079, 1992.
  4. ^ J. N. Tsitsiklis and V. D. Blondel. "Lyapunov Exponents of Pairs of Matrices, a Correction." |Mathematics of Control, Signals, and Systems, 10, p. 381, 1997.
  5. ^ Vincent D. Blondel, John N. Tsitsiklis. "The boundedness of all products of a pair of matrices is undecidable." Systems and Control Letters, 41:2, pp. 135–140, 2000.
  6. ^ N. Barabanov. "Lyapunov indicators of discrete inclusions i–iii." Automation and Remote Control, 49:152–157, 283–287, 558–565, 1988.
  7. ^ V. Y. Protasov. "The joint spectral radius and invariant sets of linear operators." Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 2(1):205–231, 1996.
  8. ^ N. Guglielmi, F. Wirth, and M. Zennaro. "Complex polytope extremality results for families of matrices." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 27(3):721–743, 2005.
  9. ^ Vincent D. Blondel, Yurii Nesterov and Jacques Theys, On the accuracy of the ellipsoid norm approximation of the joint spectral radius, Linear Algebra and its Applications, 394:1, pp. 91–107, 2005.
  10. ^ T. Ando and M.-H. Shih. "Simultaneous contractibility." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 19(2):487–498, 1998.
  11. ^ V. D. Blondel and Y. Nesterov. "Computationally efficient approximations of the joint spectral radius." SIAM Journal of Matrix Analysis, 27(1):256–272, 2005.
  12. ^ P. Parrilo and A. Jadbabaie. "Approximation of the joint spectral radius using sum of squares." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2385–2402, 2008.
  13. ^ V. Protasov, R. M. Jungers, and V. D. Blondel. "Joint spectral characteristics of matrices: a conic programming approach." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2008.
  14. ^ J. C. Lagarias and Y. Wang. "The finiteness conjecture for the generalized spectral radius of a set of matrices." Linear Algebra and its Applications, 214:17–42, 1995.
  15. ^ T. Bousch and J. Mairesse. "Asymptotic height optimization for topical IFS, Tetris heaps, and the finiteness conjecture." Journal of the American Mathematical Society, 15(1):77–111, 2002.
  16. ^ V. D. Blondel, J. Theys and A. A. Vladimirov, An elementary counterexample to the finiteness conjecture, SIAM Journal on Matrix Analysis, 24:4, pp. 963–970, 2003.
  17. ^ V. Kozyakin Structure of Extremal Trajectories of Discrete Linear Systems and the Finiteness Conjecture, Automat. Remote Control, 68 (2007), no. 1, 174–209/
  18. ^ Kevin G. Hare, Ian D. Morris, Nikita Sidorov, Jacques Theys. An explicit counterexample to the Lagarias–Wang finiteness conjecture, Advances in Mathematics, 226, pp. 4667-4701, 2011.
  19. ^ A. Cicone, N. Guglielmi, S. Serra Capizzano, and M. Zennaro. "Finiteness property of pairs of 2 × 2 sign-matrices via real extremal polytope norms." Linear Algebra and its Applications, 2010.
  20. ^ R. M. Jungers and V. D. Blondel. "On the finiteness property for rational matrices." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2283–2295, 2008.

延伸閱讀[编辑]

  • Vincent D. Blondel; Michael Karow; Vladimir Protassov; Fabian R. Wirth (编). Linear Algebra and its Applications: special issue on the joint spectral radius. Linear Algebra and its Applications 428 (Elsevier). 2008.