艾倫伯格-斯廷羅德公理

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在數學的代數拓撲學中,艾倫伯格-斯廷羅德公理(英語:Eilenberg–Steenrod axioms)是拓撲空間同調論的共有性質。符合這套公理的同調論的典型例子,是由塞繆爾·艾倫伯格諾曼·斯廷羅德建立的奇異同調英语singular homology

同調論可以定義為符合艾倫伯格-斯廷羅德公理的函子列。這個公理化方法在1945年建立,可以用來證明只要符合公理的同調論都會有的共同結果,例如邁耶-菲托里斯序列英语Mayer–Vietoris sequence

如果省略了其中的維數公理,那麼其餘的公理所定義的是廣義同調論英语extraordinary homology theory。最早出現的廣義同調論是K-理論配邊理論英语cobordism theory

正式定義[编辑]

艾倫伯格-斯廷羅德公理用於從拓撲空間偶(X, A)範疇到阿貝爾群範疇的函子列,連同稱為邊界映射自然變換。(在此Hi − 1(A)是Hi − 1(A,∅)的簡記。)這套公理是:

  1. 恆同映射在同調群中誘導的同態是恆同同態。
  2. 設有空間偶的映射,那麼
  3. 設有空間偶的映射,那麼
  4. 同倫:同倫的映射在同調群中誘導相同的同態。換言之,如果同倫,那麼其誘導同態相同:
    對所有n ≥ 0。
  5. 切除:設(X, A)是空間偶,UX的子集,使得U的閉包包含在A的內部之中。那麼包含映射在同調群中誘導的是同構
  6. 維數:設P是單點空間,那麼 對所有n ≠ 0。
  7. 正合:任何空間偶(X, A)經由包含映射,都在同調群中誘導出長正合序列

約翰·米爾諾增加了一條公理:

可加性:設是拓撲空間族不交併,那麼

P是單點空間,那麼稱為係數群

結果[编辑]

同調群的一些結果可以用公理推導出,例如同倫等價空間的同調群是同構的。

一些較為簡單的空間的同調群可以直接從公理算出,比如n-球面。因此可以推導出(n-1)-球面不是n-球的收縮。用這個結果可以給出布勞威爾不動點定理的一個證明。

維數公理[编辑]

如果一個同調論符合差不多所有艾倫伯格-斯廷羅德公理,但維數公理除外,便稱為廣義同調論英语extraordinary homology theory(對偶概念為廣義上同調論)。一些重要例子在1950年代發現,例如拓撲K-理論配邊理論英语cobordism theory,都是廣義上同調論,並有與之對偶的同調論。

參看[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Axiomatic approach to homology theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
  • Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Foundations of algebraic topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952. xv+328 pp.
  • Glen Bredon英语Glen Bredon: Topology and Geometry, 1993, ISBN 0-387-97926-3.
  • James W. Vick. Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology 2nd edition. Springer-Verlag. 1994.