菱形十二面體

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菱形十二面體
菱形十二面體
(點選檢視旋轉模型)
類別 卡塔蘭立體
12
24
頂點 14
歐拉特徵數 F=12, E=24, V=14 (χ=2)
面的佈局英语Face configuration V3.4.3.4
DU07 facets.png

菱形
頂點佈局英语Vertex_configuration 8{3}+6{4}
考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png
CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png
康威表示法 jC
對稱群 Oh英语Octahedral symmetry, B3, [4,3], (*432)
對偶 截半立方體
旋轉對稱群英语Point_groups_in_three_dimensions#Rotation_groups O, [4,3]+, (432)
二面角 120°[1]:5
特性 凸、面可遞英语face-transitive等面英语isohedral figure等邊英语isotoxal figure平行體
立體圖
Cuboctahedron.png
截半立方體
(對偶多面體)
Rhombicdodecahedron net.svg
(展開圖)
菱形十二面體能獨立密鋪三維空間
菱形十二面體旋轉透視圖

幾何學中,菱形十二面體Rhombic dodecahedron)是一個由菱形構成的十二面體[2],屬於卡塔蘭立體,由12個全等菱形組成,具有24條邊和14個頂點,其對偶多面體截半立方體[3]

性質[编辑]

菱形十二面體是一個卡塔蘭立體,由12個面、24條邊和14個頂點[1]:3,其中12面為12個全等的個菱形,且具有180度旋轉對稱性和點對稱性,因此是一個環帶多面體[4],其對偶多面體截半立方體

菱形十二面體能獨立密鋪三維空間,因此是一種空間填充多面體[5],其所形成的堆砌體可以視為是面心立方晶格的沃罗诺伊鑲嵌。這種堆砌體體心立方晶格(bcc)的布里元區,部分礦物可以形成於菱形十二面體的晶體慣態[6],如石榴石。蜜蜂築巢時也是使用菱形十二面體空間填充的幾何結構來築巢,其每個蜂房皆是以半個菱形十二面體為上蓋之六角柱的空間填充構成[7][8]。菱形十二面體也出現在鑽石金剛石的單位晶格中,但實際上少了4個頂點,而化學鍵位於剩餘的稜上[9]

菱形十二面體可以從中心分割成4個三方偏方面體,若將菱形十二面體空間填充的每一個菱形十二面體都分割成三方偏方面體則可以形成三方偏方面體的空間填充[10][11],這意味著三方偏方面體也可以獨立密鋪三維空間。這種切割就好像將正六邊形鑲嵌六邊形切割成3個菱形而形成菱形鑲嵌

對稱性[编辑]

菱形十二面體的對偶多面體——截半立方體是一個阿基米德立體,具有點可遞的性質,因此菱形十二面體具有面可遞的性質,這意味著這個幾何形狀的對稱群可在各個面上傳遞,換句話說,這立體上的任意兩個面A和B,若透過旋轉或鏡射這個立體,使A移動到B原來的位置時,而兩個面仍然佔據了相同的空間區域[13]

同理,菱形十二面體具有邊可遞的特性,這意味著,這立體上的任意兩條稜A和B,透過旋轉或鏡射這個立體,使A移動到B原來的位置時,其稜以及其二面角仍然佔據了相同的空間區域[14][15][16]。菱形十二面體是9個邊可遞的凸多面體之一,其他8個分別是五個柏拉圖立體、截半立方體、截半二十面体和菱形三十面體。

面的組成[编辑]

菱形十二面體由12個全等的菱形組成,這個菱形的長對角線都是短對角線2倍,其中鋭角的角度則為arccos(1/3)約為70.53°,鈍角的角度則為 109.47°[17][1]:5,兩條對角線長度與一邊長的比為 [18]

DU07 facets.png

尺寸[编辑]

若菱形十二面體的邊長為a,則其內切球半徑為:

OEIS中的数列A157697

邊心距為:

OEIS中的数列A179587

外接球半徑為:

OEIS中的数列A020832

體積和表面積[编辑]

若菱形十二面體的邊長為a,則其表面積A及體積V為:

若令其對偶多面體——截半立方體邊長為單位長,則菱形十二面體的邊長為,則其體積V[19]

[19]

頂點坐標[编辑]

Pyritohedron animation.gif
五角十二面體(Pyritohedron[20])是介於立方體和菱形十二面體之間的變體
R1-R3.gif
菱形十二面體的擴展英语Expansion (geometry)

三個菱形之公共頂點(共8個)其頂點坐標[5]

(±1, ±1, ±1)

另外6個頂點為四個菱形之公共頂點,其頂點坐標為[5]

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0) 和 (0, 0, ±2)

菱形十二面體可以是為五角十二面體的退化限制,其頂點坐標可表示為(±1, ±1, ±1)(0, 1 + h, 1 − h2),其中h = 1。

正交投影[编辑]

菱形十二面體有4個特殊的正交投影,分別為於四個菱形的公共頂點投影、於三個菱形的公共頂點投影、於稜上投影和於面上投影,其中「於稜上投影」以及「於面上投影」其對稱性對應於B2 和 A2的考克斯特平面[21]

正交投影
投影
對稱性
[4] [6] [2] [2]
菱形
十二面體
Dual cube t1 B2.png Dual cube t1.png Dual cube t1 e.png Dual cube t1 v.png
截半立方體
(對偶)
3-cube t1 B2.svg 3-cube t1.svg Cube t1 e.png Cube t1 v.png

其他菱形十二面體[编辑]

亦有一些十二面體也是由菱形組成,例如比林斯基十二面體英语Bilinski_dodecahedron

平行十二面體[编辑]

菱形十二面體是一種平行多面體,具有可以獨立填滿三維空間填充,所形成的幾何結構稱為菱形十二面體堆砌或平行十二面體堆砌,其對偶可能為半立方體堆砌或由四面體和八面體組成的堆砌。

Rhombic dodecahedra.png
由菱形十二面體堆砌而成的幾何結構
Parallelohedron edges rhombic dodecahedron.png
平行十二面體可由四對等長的邊組成。

常見的由菱形組成的平行十二面體有二面體群菱形十二面體

二面體群菱形十二面體[编辑]

二面體群菱形十二面體是一種具有與一般菱形十二面體不同對稱性的平行十二面體,同樣可以獨立填滿三維空間,其所形成的幾何結構類似於截角八面體堆砌的一個變種[22]

其中一個二面體群菱形十二面體例子,例如由4個正方形和8個60度菱形所組成的平行十二面體,其具有D4h二面體群對稱,且階數為16,其外型看起來與頂面和底面擺入正四角錐的截半立方體類似。

Squared rhombic dodecahedron.png Squared rhombic dodecahedron net.png
展開圖
頂點座標
(0, 0, ±2)
(±1, ±1, 0)
(±1, 0, ±1)
(0, ±1, ±1)

比林斯基十二面體[编辑]

Bilinski dodecahedron.png
依據其對稱性將比林斯基十二面體之前面的面與寬邊著上顏色。
Bilinski dodecahedron parallelohedron.png
依照互相平行的邊著色

比林斯基十二面體Bilinski dodecahedron)又稱為第二種菱形十二面體菱形十二面体第2種[23][24]),是菱形十二面體的另一種基於平行十二面體的變種,由斯坦科·比林斯基英语Stanko Bilinski於1960年發現。

比林斯基十二面體同樣由12個菱形組成,但構成此幾何體的菱形有兩種:其中一種菱形對角線比為2個平方根,另一種菱形對角線比為黃金比例[25][26]

面的種類
第一種 第二種
DU07 facets.png GoldenRhombus.svg
2:1 5 + 1/2:1

使用[编辑]

菱形十二面體形狀的骰子

由於菱形十二面體每個面全等,且十分均勻,因此有時會被拿來做成骰子(但大多数都会使用正十二面体作为骰子)。亦有部分的魔術方塊是設計成菱形十二面體的形狀[27]

相關多面體與鑲嵌[编辑]

菱形十二面體可以經由立方體透過會合變換構造,即將立方體每個面貼上角錐,並用適當的錐高,使角錐側面與鄰近面上貼的角錐之測面共面來獲得。其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png CDel node fh.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Tetrahedron.svg Dodecahedron.svg
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

菱形十二面體可以切割成截半立方體。在切割過程可以得到一些不同的多面體,例如:

(可能的來源) 倒角立方體
(截邊立方體)
截角倒角立方體
(截邊截角立方體)
截半倒角立方體
(截邊截半立方體)
截半立方體
圖像 Rhombic Dodecahedron Before Cutting.svg
菱形十二面體
Chamfered Cube by Cutting Rhombic Dodecahedron.svg
倒角立方體
Rhombicuboctahedron by Cutting Rhombic Dodecahedron.svg
小斜方截半立方体
Truncated Cuboctahedron by Cutting Rhombic Dodecahedron.svg
大斜方截半立方体
Cuboctahedron by Cutting Rhombic Dodecahedron.svg
截半立方體
考克斯特符號英语Coxeter–Dynkin diagram CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
對偶多面體
對偶 Cuboctahedron.png
截半立方體
Tetrakis cuboctahedron.png
四角化截半立方體
Strombic icositetrahedron.png
鳶形二十四面體
Disdyakis dodecahedron.png
六角化八面體
Rhombic dodecahedron.png
菱形十二面體
考克斯特符號英语Coxeter–Dynkin diagram CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png

菱形十二面體與小斜方截半四面體(等價於截半立方體)的對偶多面體等價,其他與正四面體相關的多面體為:

正四面体家族半正多面体
对称性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面体对偶
CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.pngCDel 3.pngCDel node f1.png CDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.pngCDel 3.pngCDel node fh.png
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

菱形十二面體可以視為由菱形組成的球面鑲嵌圖,一般菱形鑲嵌的菱形銳角頂點是3個菱形的公共頂點,有這種性質的相關多面體與鑲嵌包括:

擬正鑲嵌對稱性 3.4.n.4: V(3.n)2 的變種:
*n32英语Orbifold notation 球面鑲嵌英语List of spherical symmetry groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊鑲嵌
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
鑲嵌圖 Uniform tiling 432-t0.png Spherical rhombic dodecahedron.png Spherical rhombic triacontahedron.png Rhombic star tiling.png Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png Ord3infin qreg rhombic til.png
布局英语Face configuration V(3.3)2 V(3.4)2 V(3.5)2 V(3.6)2 V(3.7)2英语Triheptagonal_tiling V(3.8)2英语Trioctagonal_tiling V(3.∞)2

另一種菱形鑲嵌的菱形銳角頂點是4個菱形的公共頂點,而菱形十二面體也屬於這類鑲嵌。有這種性質的相關多面體與鑲嵌包括:

*n42 擬正對偶鑲嵌對稱性 V(4.n)2 的變種:
對稱性
*4n2
[n,4]
球面鑲嵌英语List of spherical symmetry groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊鑲嵌 仿緊鑲嵌 非緊鑲嵌
*342
[3,4]
*442
[4,4]
*542
[5,4]
*642
[6,4]
*742
[7,4]
*842
[8,4]...
*∞42
[∞,4]
 
[iπ/λ,4]
鑲嵌圖
 
布局英语Face configuration
Spherical rhombic dodecahedron.png
V4.3.4.3
Uniform tiling 44-t0.svg
V4.4.4.4
Order-5-4 quasiregular rhombic tiling.png
V4.5.4.5英语Order-5-4 rhombille tiling
Ord64 qreg rhombic til.png
V4.6.4.6
Ord74 qreg rhombic til.png
V4.7.4.7
Ord84 qreg rhombic til.png
V4.8.4.8
Ord4infin qreg rhombic til.png
V4.∞.4.∞
V4.∞.4.∞

此外,菱形十二面體也可以對應到面布局為V3.2n.3.2n的鑲嵌圖系列中。這個系列的第一種形狀時平面鑲嵌,其餘皆為雙曲鑲嵌:

Rhombicdodecahedron net2.png
V3.4.3.4
(展開圖)
Tile V3636.svg
V3.6.3.6
平面鑲嵌
菱形鑲嵌
Uniform dual tiling 433-t01.png
V3.8.3.8
雙曲鑲嵌
(龐加萊圓盤模型)

拓樸同構的多面體[编辑]

部分多面體與菱形十二面體拓樸同構,例如平行十二面體,亦有一些非菱形組成的十二面體與菱形十二面體拓樸同構,例如鳶形十二面體。

鳶形十二面體[编辑]

數組(a,b)為(3/4,3/2)定義出的鳶形十二面體之展開圖

鳶形十二面體[28][29][30]是一種由24個全等的鳶形組成的十二面體,具有面可遞的性質,並具24階四面體群對稱性。

鳶形十二面體可以視為將菱形十二面體的菱形面變形成鳶形的結果。形變的方式是透過調整菱形十二面體的8個頂點,另外四個頂點保持正四面體的布局位置。其形變量可透過一個數組(a,b)來表示,當a和b皆為1時則為菱形十二面體,a表示保持著正四面體的布局位置的頂點,可以逐漸向1/2趨近,向1/2趨近的意義表示其頂點逐漸移向幾何中心;而b的值取決於a,需要使移動時能夠成平面的鳶形而非扭歪多邊形,其值會向正無窮大逼近。這種情形下,其頂點坐標可以表示為:

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)
(a, a, a), (−a, −a, a), (−a, a, −a), (a, −a, −a)
(−b, −b, −b), (−b, b, b), (b, −b, b), (b, b, −b)

下表列出部分數組(a,b)所形成的鳶形十二面體圖像:

數組(a,b) (1,1) (7/8,7/6) (3/4,3/2) (2/3,2) (5/8,5/2) (9/16,9/2)
圖像 Rhombic dodecahedron.png Skew rhombic dodecahedron-116.png Skew rhombic dodecahedron-150.png Skew rhombic dodecahedron-200.png Skew rhombic dodecahedron-250.png Skew rhombic dodecahedron-450.png

星形化體[编辑]

透過將菱形十二面體切割為12個菱形錐可以重新組合成第一種星形菱形十二面體。

如同其他的凸多面體,菱形十二面體也可以透過延伸面或邊,直到它們相遇形成新的多面體來進行星形化。多爾曼·露可(Dorman Luke)在他的論文中描述了一些菱形十二面體的星形化體[31]。較廣為人知的是他提出的第一種多面體,其名稱可以簡略地稱為「第一種星形菱形十二面體」。這種多面體可以視為將適當錐高的菱形錐(底面為菱形的四角錐)疊在菱形十二面體的每一個菱形面上,並且讓錐高高於鄰近的面來構造:

對偶複合體[编辑]

對偶複合體是由一個多面體與其對偶多面體組合成的複合圖形。菱形十二面體與其對偶的複合體為複合截半立方體菱形十二面體。其共有26個面、48條邊和26個頂點,其尤拉示性數為4,虧格為-1[32]

Dual compound 6-8 max.png

截角菱形十二面體[编辑]

截去所有頂點後的菱形十二面體稱為截角菱形十二面體。

截角菱形十二面体
截角菱形十二面体

若将菱形十二面体的六个发出四条棱的顶点截去可以獲得倒角立方體[33]

倒角立方體 倒角立方體的展开图
倒角立方體 倒角立方體的展开图

另外若将菱形十二面体的八个发出三条棱的顶点截去可以獲得倒角八面體[4][34]

菱形十二面體截角的結果及其相關多面體
Polyhedron chamfered 6.png
倒角立方體
Polyhedron 6-8 dual.png
菱形十二面體
Polyhedron chamfered 8.png
倒角八面體
Polyhedron chamfered 6 dual.png
四角化截半立方體
Polyhedron 6-8.png
截半立方體
Polyhedron chamfered 8 dual.png
三角化截半立方體

菱形十二面體堆砌[编辑]

菱形十二面體可以獨立填滿三維空間,其所形成的幾何結構稱為菱形十二面體堆砌英语Rhombic dodecahedral honeycomb

HC R1.png

菱形十二面體圖[编辑]

菱形十二面體圖
Rhombic Dodecahedral Graph.svg
分布3 (8個)
4 (6個)
顶点14
24
半径4
直径4
围长4
自同构群48
色数2
色指数4
對偶圖截半立方體圖
属性平面图

圖論的數學領域中,與菱形十二面體相關的圖為菱形十二面體圖,是菱形十二面體之邊與頂點的圖英语1-skeleton,是一個非哈密顿图[35]

性質[编辑]

菱形十二面體圖有24條邊和14個頂點,其中為3的頂點有8個;為4的頂點有6個。

Rhombic dodecahedron skeleton.svg
  • 菱形十二面體圖的特徵多項式[35]
  • 色多項式[35]
    (x-1) x (x12-23 x11+253 x10-1759 x9+8615 x8-31361 x7+87205 x6-187127 x5+308232 x4-380364 x3+333138 x2-184963 x+48831)

參見[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Robert W. Gray. Encyclopedia Polyhedra: Rhombic Dodecahedron (PDF). rwgrayprojects.com. September 5, 2007 [2018-08-29]. (原始内容存档 (PDF)于2015-07-09). 
  2. ^ 埃里克·韦斯坦因. Dodecahedron. MathWorld. 
  3. ^ 埃里克·韦斯坦因. Rhombic dodecahedron. MathWorld. 
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  5. ^ 5.0 5.1 5.2 Eric W. Weisstein. Rhombic Dodecahedron. 1999-05-25 [2018-08-29]. (原始内容存档于2013-06-03). 
  6. ^ Stewart, Ian. What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. 2001.  pp. 82-84
  7. ^ Nazzi, F. The hexagonal shape of the honeycomb cells depends on the construction behavior of bees. Scientific Reports. 2016, 6: 28341. PMC 4913256. PMID 27320492. doi:10.1038/srep28341. 
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延伸閱讀[编辑]

外部連結[编辑]

電腦模型
紙模型
實際應用