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鞅中心极限定理

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鞅中心极限定理概率论中的一个定理,对有界的随机变量而言,常见的经典中心极限定理是它的特殊情形。经典中心极限定理说,在一定条件下,独立同分布(i.i.d.)随机变量之和,乘以适当的标准化因数后,会依分布收敛于标准正态分布 。而鞅中心极限定理将独立性假设放宽为:这些随机变量只需构成一个中的随机增量(鞅是一种随机过程 ,其从时间 到时间 的增量,在给定时间 1 到 观测值的条件下,其条件数学期望为零)。

定理内容[编辑]

鞅中心极限定理的基本内容可陈述如下:令随机变量 构成一个,即满足条件:

(鞅的定义)

进一步假设这个鞅是有限增量的,即:存在一个固定常数 ,有:

对所有 成立。 另假设 也成立。 定义增量的条件方差为:

并假设所有条件方差之和发散,即下式以概率1成立:

据此,对任意给定的常数 ,可以定义:

在所有上述假设成立的条件下,鞅中心极限定理做出如下结论:标准化的鞅随机变量:

随着 将会依分布收敛标准正态分布

随机增量的条件方差之和必须发散[编辑]

上述定理假设了所有随机增量的条件方差之和为无穷大,即以下条件以概率1成立:

这样可以确保以概率1,下式成立:

并不是所有鞅都满足这个条件,例如恒为零的平凡鞅。

定理的直观理解[编辑]

可以通过将 如下变形来更好地理解鞅中心极限定理:

右边的第一项渐近收敛于零,可以忽略。第二项在形式上,与独立同分布随机增量的经典中心极限定理相似,虽然其中被求和项 互相之间未必独立,但由鞅的定义易知它们互不相关的,因为:


参考文献[编辑]

  • Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8.  Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8.  Hall, Peter; C. C. Heyde. Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. 1980. ISBN 0-12-319350-8. 
  • 有关定理5.4的讨论以及推论5.3(ii)的正确形式,请参见Bradley, Richard. On some results of MI Gordin: a clarification of a misunderstanding. Journal of Theoretical Probability (Springer). 1988, 1 (2): 115–119. doi:10.1007/BF01046930.