半立方抛物线

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不同a值的半立方抛物线

半立方抛物线(cuspidal cubic)是一个参数式如下的平面代数曲线[1]

隐方程英语implicit curve

可以求得y得到以下的式子[1]

三次平面曲线原点有一尖点

若令u = at, X = a2x,且令Y = a3y,可得

这意味着,针对任意的实数a,此曲线都可以位似变换英语homothetic transformationa = 1的曲线,也就是说,不同的a只对应不同的单位长度。

性质[编辑]

有一种特殊的半立方抛物线,是抛物线渐屈线[2],其方程式为

若将Tschirnhausen cubic catacaustic展开,可以证明也是半立方抛物线[3]

半立方抛物线的另一个特性是其为等时曲线英语isochrone curve,也就是说一物体在其曲线上,因重力而往下移动,在相同的时间内会移动相同的距离。因此此曲线和等时降线有关,也是物体在不同的位置因重力同时往下移动,会在相同的时间到达最下方。此曲线也和最速降线问题有关,物体沿此轨迹,会从起点以最快速度到达终点[4]

半立方抛物线等时曲线的特性是由雅各布·伯努利为了回答戈特弗里德·莱布尼茨在1687年提出的一个挑战,在1690年提出此曲线的特性[4]

参考资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 Pickover, Clifford A., The Length of Neile's Semicubical Parabola, The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc.: 148, 2009, ISBN 9781402757969 .
  2. ^ Yoder, Joella G., Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature, Cambridge University Press: 88, 2004 [2016-04-06], ISBN 9780521524810, (原始内容存档于2017-08-20) .
  3. ^ 埃里克·韦斯坦因. Tschirnhausen Cubic Catacaustic. MathWorld. 
  4. ^ 4.0 4.1 Carnahan, Walter H., Time Curves, School Science and Mathematics, 1947, 47 (6): 507–511, doi:10.1111/j.1949-8594.1947.tb06153.x .

外部链接[编辑]