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二元運算

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二元運算屬於數學運算的一種。二元運算需要三個元素:二元運算符以及該運算符作用的兩個變量。如四則運算的加、減、乘、除均屬於二元運算。

如在運算1+2之中,二元運算符為「+」,而該運算符作用的操作數分別為1與2。

二元運算只是二元函數的一種,由於它被廣泛應用於各個領域,因此受到比其它函數更高的重視。

定義[編輯]

給定集合,二元函數稱為集合上的二元運算。給定集合中兩個元素,則按順序通常寫為F。更多時候,二元運算會採用某種運算符而不是字母做為標記。

可以看出,「集合上的二元運算」這樣的提法暗示了該運算在上封閉。

常用性質和術語[編輯]

關於二元運算有很多常見的性質和術語,列舉如下:

幺元[編輯]

: 是集合上的二元運算,,則:

  • 下的左幺元,若滿足:
  • 下的右幺元,若滿足:
  • 下的幺元,若滿足:i既是在二元運算下的左幺元,又是在二元運算下的右幺元。

逆元[編輯]

: 是集合上的二元運算,,下的幺元。則:

  • 下的左逆元,若滿足:
  • 下的右逆元,若滿足:
  • 下的逆元,若滿足:a既是下的左逆元,又是下的右逆元。(顯然此時也是的逆元),若上下文明確是哪個運算,則元素的逆元通常記為

零元[編輯]

: 是集合上的二元運算,,則:

  • 下的左零元,若滿足:
  • 下的右零元,若滿足:
  • 下的零元,若滿足:z既是下的左零元,又是下的右零元。

零因子[編輯]

: 是集合上的二元運算,,下的零元。則:

  • 中在下的左零因子,若滿足:,使
  • 中在下的右零因子,若滿足:,使
  • 下的零因子,若滿足:a既是下的左零因子,又是下的右零因子。

交換律[編輯]

: 是集合上的二元運算,則: 稱滿足交換律,若滿足:

結合律[編輯]

: 是集合上的二元運算,則: 稱滿足結合律,若滿足:

消去律[編輯]

: 是集合上的二元運算,則:

滿足左消去律,若滿足:

滿足右消去律,若滿足:

滿足消去律,若同時滿足左消去律與右消去律。

冪等律[編輯]

: 是集合上的二元運算,則: 稱滿足冪等律,若滿足:

冪幺律[編輯]

: 是集合上的二元運算,i是下的幺元, 則:稱滿足冪幺律,若滿足:(顯然此時每個元素都是它自己的逆元);

冪零律[編輯]

: 是集合上的二元運算,z是下的零元, 則:稱滿足冪零律,若滿足:,有(顯然此時每個元素都是零元素,而且既是左零元素又是右零元素);

分配律[編輯]

:  : 是集合上的兩個二元運算,則:

  • 滿足左分配律,若 滿足:,有
  • 滿足右分配律,若 滿足:,有
  • 滿足分配律,若 滿足左分配律以及右分配律;