子集

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A是B的子集

子集,為某個集合中一部分的集合,故亦稱部分集合

集合,且的所有元素都是的元素,則有:

  • 子集(或稱包含於);
  • 父集/超集(或稱包含);
  • .

所有集合都是其本身的子集。 不等於的子集稱為真子集。 若的真子集,則寫作。 "是……的子集"的關係稱為包含

定義[編輯]

假設有兩個集合,如果中的每個元素都是的元素,則:

  • 子集,記作
也可以說
  • 超集,記作

如果的子集,但等於(即中至少存在一個元素不在集合中),則:

  • 真子集,記作
也可以說
  • 真超集,記作

符號[編輯]

符號表示任何子集關係,符號表示真子集關係。也是一個很常見的符號,但其含義容易混淆。

有人用表示任何子集和超集關係,即所分別代表的含義。[1][2][3]所以在這些作者的文章中,對於任意集合 始終成立。

也有人用表示真子集和真超集的概念,即所分別代表的含義。[4]:p.6這樣就類似於不等符號的關係。例如如果 ,那麼可能等於也可能不等於,而如果 ,那麼就一定不等於。換用表示真子集,如果 ,那麼可能等於也可能不等於,而如果 ,那麼就一定不等於

ISO 80000-2 標準中定義了兩種符號搭配:使用表示子集關係,表示真子集關係;或者使用表示子集關係,使用表示真子集關係。

舉例[編輯]

  • 集合是集合的真子集。
  • 自然數集合是有理數集合的真子集。
  • 集合是大於2000的素數是集合是大於1000的奇數的真子集。
  • 任意集合是其自身的子集,但不是真子集。
  • 空集,寫作 ,是任意集合的子集。空集總是其他集合的真子集,除了其自身。

性質[編輯]

命題1空集是任意集合的子集。

這個命題說明:包含是一種偏序關係

命題2:若是集合,則:

自反性
反對稱性
  • 當且僅當
傳遞性

這個命題說明:對任意集合冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數

命題3:若是集合的子集,則:

存在一個最小元和一個最大元
  • 由命題1給出)
存在並運算
存在交運算

命題4:對任意兩個集合,下列表述等價:

這個命題說明:表述"",和其他使用並集交集補集的表述是等價的,即包含關係在公理體系中是多餘的。

參考文獻[編輯]

  1. ^ 離散數學-第三章, [2012-09-07], (原始內容存檔於2012-07-03) 
  2. ^ Subsets and Proper Subsets (PDF), [2012-09-07], (原始內容 (PDF)存檔於2013-01-23) 
  3. ^ 剑桥大学国际考试院IGCSE数学考纲 (PDF), [2015-03-14] 
  4. ^ Rudin, Walter, Real and complex analysis 3rd, New York: McGraw-Hill, 1987, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 924157 

參見[編輯]

  • 冪集:某集合的全部子集組成的集合。