懸鏈線

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不同的懸鏈線
鐵鏈形式的懸鏈線。
蜘蛛絲形成多個(近似的)懸鏈線。

懸鏈線(Catenary)是一種常用曲線,物理上用於描繪懸在水平兩點間的因均勻引力作用下的軟繩的形狀,因此而得名。它的公式為:

或者簡單地表示為

其中cosh是雙曲餘弦函數, 是一個由繩子本身性質和懸掛方式決定的常數軸為其準線。具體來說,,其中是重力加速度,是線密度(假設繩子密度均勻),而是繩子上每一點處張力的水平分量,它取決於繩子的懸掛方式;若繩子兩端在同一水平面上,則下面的方程決定了

其中L是繩子總長的一半,d是端點距離的一半。

方程的推導[編輯]

表達式的證明

如右圖,設最低點處受水平向左的拉力,右懸掛點處表示為點,在弧線區段任意取一段設為點,則受一個斜向上的拉力,設和水平方向夾角為,繩子的質量為,受力分析有:

, 其中是右段繩子的長度,是繩子線重量密度,為切線方向,記, 代入得微分方程;

利用弧長公式;

所以;

再把代入微分方程得

對於微分處理

其中;

對(2)分離常量求積分

,即

其中反雙曲函數;

時,

帶入得

整理得

工程中的應用[編輯]

懸索橋雙曲拱橋架空電纜都用到懸鏈線的原理。 在工程中有一種應用,稱作懸鏈係數。如果我們改變公式的寫法,會給工程應用帶來很大幫助,公式及圖像如下:

還有以下幾個公式,可能也有用:

其中是曲線中某點到0點的鏈索長度,是該點的正切角,是0點處的水平張力,是鏈索的單位重量。利用上述公式即能計算出任意點的張力。

參考資料[編輯]

外部連結[編輯]