有界集合

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(頂上的)有界集合和(底下的)無界集合的示意圖。底下的這個集合一直向右延續。

數學分析和有關的數學領域中,一個集合被稱為有界的,如果它在某種意義上有有限大小。反過來說,不是有界的集合就叫做無界

定義[編輯]

如果存在一個實數 k,使得對於所有 S 中的 sk s實數集合 S 被稱為「上有界」的,這個數 k 被稱為 S上界。可用類似的定義術語「下有界」和下界

如果集合 S 有上界和下界二者,則它是有界的。所以,如果一個實數集合包含在有限區間內,則它是有界的。

度量空間[編輯]

度量空間 (M, d) 的子集 S有界的,如果它包含在有限半徑的內,就是說如果對於所有 S 中的 s,存在 M 中的 x 並且 r > 0,使得 d(x, s) < rM 是有界度量空間(或 d 是有界度量),如果 M 作為自身的子集是有界的。

拓撲向量空間內的有界性[編輯]

拓撲向量空間中,存在一個有界集合的不同定義,通常叫做馮·諾伊曼有界性。如果拓撲向量空間的拓撲是由均勻度量所誘導,如度量是由賦范向量空間範數所誘導的情況,則這兩個定義是一致的。

序理論中的有界性[編輯]

一個實數集合是有界的,當且僅當它有上界和下界。這個定義可擴展到任何偏序集合的子集。注意這個更一般的有界性概念不對應於「大小」的概念。

偏序集合 P 的子集 S 叫做上有界的,如果對於所有 S 中的 s,有 P 中一個元素 k 使得 ks。元素 k 叫做 S上界。可類似的定義下有界下界。(參見上界和下界。)

偏序集合 P 的子集 S 叫做有界的,如果它有上界和下界二者,或等價的說,它被包含在一個區間內。注意這不是集合 S 自己的一個性質,而是集合 S 作為 P 的子集的性質。

有界偏序集合 P(就是說自身就是有界而不是作為子集)是有最小元素最大元素的偏序集合。注意這個有界性的概念與有限大小無關,有界偏序集合 P 的子集 SP 的次序(的限制)下也不必然是有界偏序集合。

Rn 的子集 S 是關於歐幾里得距離有界的,當且僅當它在乘積序英語Product order下作為 Rn 的子集是有界的。但是,S 可以是在字典序下有界,而不關於歐幾里得距離有界。

序數的類被稱為是無界的,或共尾的,在給定任何序數的時候,總是有這個類的某個成員大於它。所以在這種情況下,「無界」不意味着自身是無界的而是作為序數類的子類是無界的。

參見[編輯]