有界集合

（頂上的）有界集合和（底下的）無界集合的示意圖。底下的這個集合一直向右延續。

在數學分析和有關的數學領域中，一個集合被稱為有界的，如果它在某種意義上有有限大小。反過來說，不是有界的集合就叫做無界。

定義[編輯]

如果存在一個實數 k，使得對於所有 S 中的 s 有 k ≥ s，實數集合 S 被稱為「上有界」的，這個數 k 被稱為 S 的上界。可用類似的定義術語「下有界」和下界。

如果集合 S 有上界和下界二者，則它是有界的。所以，如果一個實數集合包含在有限區間內，則它是有界的。

度量空間 (M, d) 的子集 S 是有界的，如果它包含在有限半徑的球內，就是說如果對於所有 S 中的 s，存在 M 中的 x 並且 r > 0，使得 d(x, s) < r。M 是有界度量空間（或 d 是有界度量），如果 M 作為自身的子集是有界的。

在拓撲向量空間中，存在一個有界集合的不同定義，通常叫做馮·諾伊曼有界性。如果拓撲向量空間的拓撲是由均勻度量所誘導，如度量是由賦范向量空間的範數所誘導的情況，則這兩個定義是一致的。

一個實數集合是有界的，當且僅當它有上界和下界。這個定義可擴展到任何偏序集合的子集。注意這個更一般的有界性概念不對應於「大小」的概念。

偏序集合 P 的子集 S 叫做上有界的，如果對於所有 S 中的 s，有 P 中一個元素 k 使得 k ≥ s。元素 k 叫做 S 的上界。可類似的定義下有界和下界。（參見上界和下界。）

偏序集合 P 的子集 S 叫做有界的，如果它有上界和下界二者，或等價的說，它被包含在一個區間內。注意這不是集合 S 自己的一個性質，而是集合 S 作為 P 的子集的性質。

有界偏序集合 P（就是說自身就是有界而不是作為子集）是有最小元素和最大元素的偏序集合。注意這個有界性的概念與有限大小無關，有界偏序集合 P 的子集 S 在 P 的次序（的限制）下也不必然是有界偏序集合。

Rⁿ 的子集 S 是關於歐幾里得距離有界的，當且僅當它在乘積序（英語：Product order）下作為 Rⁿ 的子集是有界的。但是，S 可以是在字典序下有界，而不關於歐幾里得距離有界。

序數的類被稱為是無界的，或共尾的，在給定任何序數的時候，總是有這個類的某個成員大於它。所以在這種情況下，「無界」不意味着自身是無界的而是作為序數類的子類是無界的。