正軸形

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幾何學中,正軸形,或稱交叉形[1]正交形[2]超正八面體餘方形,是一個的、凸的、存在於任意維度的多胞形。正軸形的頂點坐標都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列,正軸形是這些頂點的凸包。它的(n-1)維表面是(n-1)維的正單純形,而正軸形的頂點圖是前一維的另一正軸形。

n維正軸形也可以用在Rn1-賦范下的單位球(或者,對於某些學者,單位球面)來定義;

在一維,正軸形就是線段 [−1, +1],在二維它是正方形(或叫做正菱形),有頂點{(±1, 0), (0, ±1)。在三維它是正八面體—五個正多面體,即柏拉圖立體之一。更高維的正軸形總結如下:

A 2-dimensional cross-polytope A 3-dimensional cross-polytope A 4-dimensional cross-polytope
二維
正方形
三維
正八面體
四維
正十六胞體

正軸形是超方形對偶多胞形n維正軸形的一階骨架英語Skeleton (topology)Turán圖英語Turán graphT(2n,n)。

四維[編輯]

四維正軸形也被叫做正十六胞體。它是6個四維凸正多胞體之一。這些多胞體最先被瑞士數學家路德維希·施萊夫利在19世紀中期描述過。

更高維[編輯]

正軸形家族是三個延伸至正無窮維的正多胞形家族之一,考克斯特將其標記為βn,另外兩個是超方形家族,記為γn,以及單純形家族,記為αn第四個非凸多胞形的家族,超方形密鋪家族,他將其標記為δn

n維正軸形有2n個頂點,及2n個全都是(n−1)-單純體的維面(n−1 維組成元素)。它的頂點圖 都是n − 1維的正軸形。正軸形的施萊夫利符號是{3,3,…,3,4}。n-維正軸形的二面角

.

n-維正軸形的k-維組成元素(頂點、棱、面、…、維面)的個數由以下公式給出(見二項式係數):

n-維正軸形的超體積為:

這裡有許多能夠以二維圖像展示正軸形的正交投影皮特里多邊形投影是常用的一種投影,將其頂點,投影到一個2n邊形或更低階的正多邊形上。第二次的投影再投影於更低維中的2(n-1)邊皮特里多邊形,例如雙角錐,我們可將其沿主軸投影,兩個頂點被投影到了投影的中心。

正軸形元素
n βn
k11
名稱
圖像
圖像
2n邊形
圖像
2(n-1)邊形
施萊夫利
符號
考克斯特-英語Coxeter-Dynkin digram
迪肯符號英語Coxeter-Dynkin digram
頂點 4-表面 5-表面 6-表面 7-表面 8-表面 9-表面
1 β1 線段
1-正軸體
Cross graph 1.svg {} CDel node 1.png
CDel node f1.png
2                  
2 β2
−111
正方形
2-正軸體
二維正軸體
Cross graph 2.png 2-orthoplex B1.svg {4}
{}+{}
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
4 4                
3 β3
011
正八面體
3-正軸體
三維正軸體
3-orthoplex.svg 3-orthoplex B2.svg {3,4}
{30,1,1}
{}+{}+{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
6 12 8              
4 β4
111
正十六胞體
4-正軸體
四維正軸體
4-orthoplex.svg 4-orthoplex B3.svg {3,3,4}
{31,1,1}
4{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
8 24 32 16            
5 β5
211
5-正軸體
五維正軸體
5-orthoplex.svg 5-orthoplex B4.svg {33,4}
{32,1,1}
5{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
10 40 80 80 32          
6 β6
311
6-正軸體
六維正軸體
6-orthoplex.svg 6-orthoplex B5.svg {34,4}
{33,1,1}
6{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
12 60 160 240 192 64        
7 β7
411
7-正軸體
七維正軸體
7-orthoplex.svg 7-orthoplex B6.svg {35,4}
{34,1,1}
7{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
14 84 280 560 672 448 128      
8 β8
511
8-正軸體
八維正軸體
8-orthoplex.svg 8-orthoplex B7.svg {36,4}
{35,1,1}
8{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
16 112 448 1120 1792 1792 1024 256    
9 β9
611
9-正軸體
九維正軸體
9-orthoplex.svg 9-orthoplex B8.svg {37,4}
{36,1,1}
9{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512  
10 β10
711
10-正軸體
十維正軸體
10-orthoplex.svg 10-orthoplex B9.svg {38,4}
{37,1,1}
10{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.png
20 180 960 3360 8064 13440 15360 11520 5120 1024
...
n βn
k11
n-正軸體
n維正軸體
{3n − 2,4}
{3n − 3,1,1}
n{}
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png...CDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.png...CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel split1.pngCDel nodes.png
CDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.pngCDel node f1.pngCDel 2.png...CDel 2.pngCDel node f1.png
2n 0-表面, ... k-表面 ..., 2n (n-1)-表面

等軸正軸形的頂點在曼哈頓距離下,任意兩點之間的距離都是相等的(L1賦規)。庫斯納猜想英語Kusner's conjecture即是說這個由2d 個點組成的集合是在這距離下最大的等距集。[3]

另見[編輯]

注釋[編輯]

  1. ^ Elte英語Emanuel Lodewijk Elte, E. L., 超空间中的半正多胞形, 格羅寧根: 格羅寧根大學, 1912  第IV章,五維半正多胞形 [1]
  2. ^ Conway把它叫做n-orthoplex寓意正交的複雜圖形
  3. ^ Guy, Richard K., 开放式问题的综合,怪异的构成, 美國數學月刊, 1983, 90 (3): 196–200, JSTOR 2975549 .

參考[編輯]

外部連結[編輯]