相對熵

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KL散度Kullback-Leibler divergence,簡稱KLD[1],在訊息系統中稱為相對熵(relative entropy),在連續時間序列中稱為隨機性(randomness),在統計模型推斷中稱為訊息增益(information gain)。也稱訊息散度(information divergence)。

KL散度是兩個概率分布P和Q差別的非對稱性的度量。 KL散度是用來度量使用基於Q的分布來編碼服從P的分布的樣本所需的額外的平均比特數。典型情況下,P表示數據的真實分布,Q表示數據的理論分布、估計的模型分布、或P的近似分布。[2]

定義[編輯]

對於離散隨機變量,其概率分布PQ的KL散度可按下式定義為

等價於

即按概率P求得的PQ對數商的平均值。KL散度僅當概率PQ各自總和均為1,且對於任何i皆滿足時,才有定義。式中出現的情況,其值按0處理。

對於連續隨機變量,其概率分佈PQ可按積分方式定義為 [3]

其中pq分別表示分佈PQ的密度。

更一般的,若PQ為集合X的概率測度,且P關於Q絕對連續,則從PQ的KL散度定義為

其中,假定右側的表達形式存在,則Q關於PR–N導數

相應的,若P關於Q絕對連續,則

即為P關於Q的相對熵。

特性[編輯]

相對熵的值為非負數:

吉布斯不等式可知,當且僅當為零。

儘管從直覺上KL散度是個度量或距離函數, 但是它實際上並不是一個真正的度量或距離。因為KL散度不具有對稱性:從分布PQ的距離通常並不等於從QP的距離。


KL散度和其它量的關係[編輯]

自信息和KL散度


互信息和KL散度


信息熵和KL散度


條件熵和KL散度


交叉熵和KL散度

參考文獻[編輯]

  1. ^ Kullback, S.; Leibler, R.A. On Information and Sufficiency. Annals of Mathematical Statistics. 1951, 22 (1): 79–86. MR 39968. doi:10.1214/aoms/1177729694. 
  2. ^ Kullback, S.; Leibler, R.A. On information and sufficiency. Annals of Mathematical Statistics. 1951, 22 (1): 79–86. MR 39968. doi:10.1214/aoms/1177729694. 
  3. ^ C. Bishop (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. p. 55.