線性生成空間

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線性代數

向量 · 向量空間  · 行列式  · 矩陣

數學分支線性代數之中,向量空間中一個向量集合線性生成空間linear span,也稱為線性包 linear hull),是所有包含這個集合的線性子空間交集,從而一個向量集合的線性生成空間也是一個向量空間。

定義[編輯]

給定 K 上的向量空間 V集合 S(不必有限)的生成空間定義為所有包含 S 的線性子空間 V 的交集 W,稱 W 為由 S(或 S 中的向量)生成的子空間。

如果 V有限子集,則生成空間為

解釋[編輯]

S 的生成空間也可定義為 S 中元素的所有有限線性組合組成的集合。因為容易驗證:S 中向量的有限線性組合的集合是包含 S 的一個向量空間,反之任何包含 S 的向量空間必然都包含 S 中向量的有限組合,故兩個定義是等價的。

如果 S 的生成空間是 V,則 S 稱為 V生成集合spanning set)。V 的一個生成集合不必是 V 的一組,因其不必是線性無關的。但是,對給定向量空間的極小生成集合一定是一組基。換句話說,V 的生成集合是一組基當且僅當 V 的任何向量可以惟一的寫成生成集合中一些元素的線性組合。

如果 V 是無限維向量空間,S 是無窮集合,則 S 中的無限個向量的線性組合(如果收斂的話)不一定屬於 S 的生成空間。

例子[編輯]

  • 向量空間 R3 中 {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 是一個生成集合,這個生成集合事實上是一組。這個空間的另一組生成集合 {(1,2,3), (0,1,2), (−1,1/2,3), (1,1,1)} 不是一組基,因為它們不是線性獨立的。
  • 集合 {(1,0,0), (0,1,0), (1,1,0)} 不是 R3 的生成集合;它的生成空間是 R3 中最後一個分量為零的向量組成的空間。
  • V={ (x,y,z) ∈R3 |x+y-z=0 },則 {(1,0,1), (0,1,1)} 是 V 的一個生成集合,也是一組基。

定理[編輯]

定理 1:向量空間 V 的非空集合 S 生成的子空間是 S 中向量的所有有限線性組合;

注釋中所說,這個定理如此熟知,以至有時也作為一個集合的生成空間的定義。

定理 2:設 V 是一個有限維向量空間,則 V 的任何生成集合 S 去掉一些向量(如果必要的話)可以簡化為 V 的一組基。

V 任意一組基(有限集),將這組基表示為 S 中一些向量的有限組合,只用到 S 中有限個向量,這有限個向量的生成集合包含這組基,從而包含 V,故第一步可將 S 簡化為有限集;如果 S 中向量不是線性無關的,則至少有一個向量能寫成其他向量的組合,去掉這個向量剩下的也能生成 V。繼續這個步驟直到剩下的向量集合線性無關,這便簡化為一組基了。
這也說明當 V 是有限維時,一組基是極小生成集合。

性質[編輯]

  • 假設 是向量空間 Vn 個向量,那麼
  • n 個向量生成空間的維數不大於 n,等於 n 當且僅當這些向量線性無關。
  • 假設 是向量空間 中兩個集合,則有:

線性生成空間與直和[編輯]

線性空間的兩個線性包,線性包稱為, ,如果,則稱直和,記為

參考文獻[編輯]

  • M.I. Voitsekhovskii, Linear hull, (編) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • 藍以中,《高等代數簡明教程》(上冊),北京大學出版社,2002年8月。
  • 《代數學引論(第二卷)》/(俄)A.H.柯斯特利金著;牛鳳文譯.-北京:高等教育出版社,2008.1 ISBN:978-7-040-21491-8