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零因子

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抽象代數中,一個的一個非零元素 a 是一個左零因子,當且僅當存在一個非零元素 b,使得 ab=0。類似的,一個非零元素 a 是一個右零因子,當且僅當存在一個非零元素 b,使得 ba=0。左零因子和右零因子通稱為零因子(zero divisor)。[1][2][註 1]。在交換環中,左零因子與右零因子是等價的。一個既不是左零因子也不是右零因子的非零元素稱為正則

例子[編輯]

  • 整數Z 沒有零因子,但是在環 Z × Z 中,有(0,n) × (m,0) = (0,0),於是(0,n)和(m,0)都是零因子。
  • 商環 Z/6Z 中,同餘類 4,就是 4 + 6Z,是一個零因子,因為 3 × 4 便是同餘類 0。
因為
    
  •  更一般地說,在某些域上的 n×n 的矩陣組成的環中,左零因子也就是右零因子(實際上就是所有的非零的奇異矩陣)。在某些整環上的 n×n 的矩陣組成的環中,零因子就是所有行列式為0的非零矩陣。
  • 下面給出一個環中的左零因子和右零因子的例子,它們都不是零因子。
    • S 為所有整數數列的集合,則 SS 的映射,對於數列的加法和映射的複合,成為一個環 End(S),。
    • 考慮以下三個映射:右移映射:R(a1, a2,a3,...) = (0, a1, a2,...), 左移映射:L(a1, a2,a3,... ) = (a2, a3,...),以及只保留首項的映射: T(a1, a2,a3,... ) = (a1, 0, 0, ... )
    • LTTR = 0,所以 L 是一個左零因子,R 是一個右零因子。但是 L 不是右零因子,R 也不是左零因子。因為 LR 便是恆等映射。也就是說,如果有一個映射 f 使得 fL= 0,那麼 0=(fL)R = f(LR)= f1 = ff 必然是 0,於是 L 不可能是右零因子。同理,R 也不可能是左零因子。
    • 實際上,我們可以將 SS 的映射看作可數階數的矩陣,於是左移映射 L 就可以表示為:
  • 同理 R 則是 L 的轉置矩陣(同時也是 L 的逆矩陣)。可以看出這個例子在有限階矩陣中是無法構造的。

性質[編輯]

  • 左零因子或右零因子不可能是可逆元
  • 任意的非零的等冪元 a ≠ 1 都是零因子,因為由 a2 = a 可推出 a(a − 1) = (a − 1)a = 0。此外,冪零元是當然的零因子。
  • 一個非退化的交換環(0 ≠ 1)若沒有零因子,則是一個整環
  • 商環 Z/nZ 包含零因子,當且僅當 n合數。如果 n素數Z/nZ 是一個域,因而沒有零因子,因為每個非零元素都是可逆的。

參見[編輯]

註釋[編輯]

  1. ^ 也有作者將既是左零因子又是右零因子的元素稱為零因子。[3][4]

參考資料[編輯]

  1. ^ 張賢科、許甫華. 高等代数学. 清華大學出版社. 2004: 10. ISBN 9787302082279. 
  2. ^ Jeffrey Bergen. A Concrete Approach to Abstract Algebra: From the Integers to the Insolvability of the Quintic. Academic Press. 2009: 234. ISBN 9780080958620. 
  3. ^ 俞正光、李永樂、呂志. 理工科代数基础. 清華大學出版社. 1998: 309. ISBN 9787302029779. 
  4. ^ 王禮萍. 离散数学简明教程. 清華大學出版社. 2005: 87. ISBN 9787302112297.