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併集

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A和B的併集

集合論數學的其他分支中,一組集合併集[1],是這些集合的所有元素構成的集合,而不包含其他元素。

基本定義[編輯]

是集合,則併集是有所有的元素和所有的元素,而沒有其他元素的集合。的併集通常寫作""。形式上:

的元素,若且唯若
  • 的元素,
  • 的元素。

舉例: 集合的併集是。數不屬於質數集合偶數集合的併集,因為既不是質數,也不是偶數。

更通常的,多個集合的併集可以這樣定義: 例如,的併集含有所有的元素,所有的元素和所有的元素,而沒有其他元素。形式上:

的元素,當且僅當屬於屬於屬於

代數性質[編輯]

二元併集(兩個集合的併集)是一種結合運算,即

。事實上,也等於這兩個集合,因此圓括號在僅進行併集運算的時候可以省略。

相似的,併集運算滿足交換律,即集合的順序任意。

空集是併集運算的單位元。即,對任意集合。可以將空集當作個集合的併集。

結合交集補集運算,併集運算使任意冪集成為布林代數。例如,併集和交集相互滿足分配律,而且這三種運算滿足德·摩根律。若將併集運算換成對稱差運算,可以獲得相應的布林環

無限併集[編輯]

最普遍的概念是:任意集合的併集。若 M 是一個集合的集合,若且唯若存在的元素滿足的元素時, 的併集的元素。即:

可以稱作集合的搜集(collection of sets)或者集合空間(system of sets)[2]的併集是一個集合,這就是公理集合論中的聯集公理

例如:是集合的併集。同時,若 是空集, 的併集也是空集。有限併集的概念可以推廣到無限併集。

上述概念有多種表示方法:

集合論者簡單地寫

而大多數人會這樣寫

後一種寫法可以推廣為

表示集合的併集。這裏是一個集合,是一個屬於的集合。

索引集自然數集合的情況下,上述表示和求和類似:

同樣,也可以寫作"". (這是一個可數的集合的併集的例子,在數學分析中非常普遍;參見 -代數)。最後,要注意的是,當符號""放在其他符號之前,而不是之間的時候,要寫的大一些。

交集在無限併集中滿足分配律,即

結合無限併集和無限交集的概念,可得

參考[編輯]

參考文獻[編輯]

  1. ^ 程極泰. 集合论. 應用數學叢書 第一版. 國防工業出版社. 1985: 14. 15034.2766. 
  2. ^ Karel Hrbacek, Thomas Jech. Introduction to Set Theory 3rd. Marcel Dekker, Inc. 1999: 9. ISBN 0-8247-7915-0.