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當且僅當

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「當且僅當」的各地常用別名
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當且僅當的邏輯符號

當且僅當(英語:if and only ififf),在數碼邏輯中,邏輯算符反異或閘exclusive or)是對兩個運算元的一種邏輯分析類型,符號為XNORENOR。與一般的邏輯或非NOR不同,當兩兩數值相同為是,而數值不同時為否。在數學哲學邏輯學以及其他一些技術性領域中被用來表示「在這個條件成立,並且僅在這個條件成立時」之意。當命題滿足「當」且「僅當」時,稱為「當且僅當」,其他等價的說法有「當且僅當[註 1]」;「充分必要條件(充要條件)」;「等價」。

一般而言,當我們看到「當且僅當」,我們可以知道「如果成立時,則一定成立;如果成立時,則也一定成立」;「如果不成立時,則一定不成立;如果不成立時,則也一定不成立」。

當且僅當[編輯]

標記[編輯]

與此相對應的邏輯符號是。這兩個通常被當作是相等的。但是,一些數學教科書,特別是那些關於一階邏輯而非命題邏輯對此有所區別,在那裏前者被用來表示邏輯公式,後者表示那些公式的推理(譬如說在元邏輯中)。

證明[編輯]

為兩命題,在證明「當且僅當」時,這相當於去同時證明陳述「如果成立,則成立」和「如果成立,則成立」。另外,也可以證明「如果成立,則成立」和「如果不成立,則不成立」,後者作為對偶,等價於「如果成立,則成立」。

有關英語縮寫iff的開端[編輯]

在出版物中,英語iff的表示標記最早出現在約翰·L·凱利的《一般拓撲學》中。它的發明通常被認為是歸於數學家保羅·哈爾莫斯,但在哈爾莫斯的自傳中卻聲明該標記另有出處,他只是首先在數學領域使用[1]

「當」與「當且僅當」[編輯]

簡單地,如下的兩個例子可以說明這兩者的不同:

  1. 雪糕是香草口味的,則小王會吃這個雪糕。
    這等於說:如果雪糕是香草口味的,那麼小王一定會吃這個雪糕。
  2. 當且僅當雪糕是香草口味,則小王會吃這個雪糕。
    這等於說:如果雪糕是香草口味的,那麼小王一定會吃這個雪糕;並且,如果小王吃雪糕,那麼這個雪糕一定是香草口味的。

第1句指小王一定會吃香草口味的雪糕,但沒有排除他會吃香草口味以外雪糕的可能性,能肯定的是他不會拒絕香草口味的雪糕。

第2句指小王一定吃且只吃香草口味的雪糕,他不會吃其它口味的雪糕。

進一步的思考[編輯]

用「當且僅當」連接兩個句子造成的句子被稱為是「雙條件句」。「當且僅當」把兩個句子結合成新的句子。它不應該跟描述兩個句子之間關係的「邏輯等價」混淆。

雙條件句「當且僅當」,是用來陳述所描述的事件狀況之間的關係。

相對照的,「邏輯等價於」則注重兩個句子:它只是陳述兩個句子之間的關係,而不是它們所介紹的什麼事情。

這裏的區別非常容易混淆,已經使得很多哲學家迷惑。當然,在「邏輯等價於」時,「當且僅當」為真,但是它的逆並不成立。讓我們重新考慮上面的句子:

  • 當且僅當雪糕是香草口味,則小王會吃這個雪糕。

很清楚,對於這個特定的雙條件句,兩個半句之間並沒有邏輯等價。如想了解更多的差異,請參照W. V. Quine的《數理邏輯,第5節》。

在哲學和邏輯學中,「當且僅當」通常用作定義,因為定義被認為是全稱量化的雙條件句。但在數學中,相比起「當且僅當」,如果通常被用於定義。這裏給出一些使用到「當且僅當的」真陳述,也是真雙條件句(第一句是一個定義的例子):

  • 當且僅當一個人是未婚且可結婚的男人,則他是單身男性。
  • 當且僅當,則
  • 對於任意命題,當且僅當,則

更一般的用法[編輯]

「當且僅當」在邏輯領域以外,在數學出版物或者普通的談話中也會用到。如同上面所說,它指的是某個陳述是另外一個的充分必要條件。這是一個數學術語的例子。

註解[編輯]

  1. ^ 直譯自q if and only if p,並不符合漢語語法

參考文獻[編輯]

  1. ^ Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998: 24 [2012-09-28]. ISBN 978-0-89871-420-3. (原始內容存檔於2013-06-06). 

參見[編輯]