等比數列

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等比數列,又名幾何數列(英文:geometric sequence 或 geometric progression),是數列的一種。在等比數列中,任何相鄰兩項的比例相等,該比值稱為公比(common ratio)。

例如數列:

就是一個等比數列。 在這個數列中,從第二項起,每項與其前一項之公比都等於

性質[編輯]

如果一個等比數列的首項記作,公比記作,那麼該等比數列第的一般項為:

換句話說,任意一個等比數列都可以寫成


在一個等比數列中,給定任意兩相連項(其中),可知公比

給定任意兩項,則有公比

這裏注意,若偶數,則公比可取此結果的正值或負值。


此外,在一個等比數列中,選取某一項,該項的前一項與後一項之積,為原來該項的平方。舉例來說,

更一般地說,有:

證明如下:

證畢。


從另一個角度看,等比數列中的任意一項,是其前一項和後一項的幾何平均

此結果從上面直接可得。


如果有整數,使得 ,那麼則有:

證明如下:


由此可將上面的性質一般化成:

其中是一個小於的正整數。


給定一個等比數列 ,則有:

  • 是一個等比數列。
  • 是一個等比數列。
  • 是一個等差數列


從等比數列的一般項可知,任意一個可以寫成

形式的數列,都是一個等比數列,其中公比,首項

等比數列和[編輯]

一個等比數列的首項之和,稱為等比數列和(sum of geometric sequence)或幾何級數(geometric series),記作

舉例來說,等比數列的和是


等比數列求和的公式如下:

其中為首項,為項數,為公比,且


公式證明如下:

將等比數列和寫作以下形式:

……(1)

將兩邊同乘以公比 r,有:

……(2)

(1)式減去(2)式,有:

時,整理後得證。

時,可以發現:


綜上所述,等比數列的求和公式為:


時,注意到

因此,我們可得無限項之和(sum to infinity)的公式為

由此可見,當時,幾何級數會收斂到一個固定值。

等比數列積[編輯]

一個等比數列的首 n 項之積,稱為等比數列積(product of geometric sequence),記作 Pn

舉例來說,等比數列的積是


等比數列求積的公式如下:

證明如下:

最後一步,使用了等差數列的求和公式。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]