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鄰域

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在平面上集合V是點p的鄰域,如果圍繞p小圓盤包含在V中。
矩形不是它的任何一角的鄰域。

集合論中,鄰域指以點 a 為中心的任何開區間,記作:U(a)。

拓撲學和相關的數學領域中,鄰域是拓撲空間中的基本概念。直覺上說,一個點的鄰域是包含這個點的集合,並且該性質是外延的:你可以稍微「抖動」一下這個點而不離開這個集合。

定義[編輯]

集合論中,有以下幾種鄰域:

鄰域:
去心鄰域:
左鄰域:
右鄰域:

拓撲學中,拓撲空間X,A,B⊆X,稱B是A的鄰域,當且僅當以下條件之一成立:

  • 存在開集C,使得A⊆C⊆B。
  • A⊆Bo。(Bo是B的內部)
開鄰域,閉鄰域
若B是開集,則B稱為A的開鄰域;若B是閉集,則B稱為A的閉鄰域。
鄰域系統
設x∈X,則{x}所有鄰域的集合U(x),稱為x(或{x})的鄰域系

注意:某些作者要求鄰域是開集,所以在閱讀文獻時注意約定是很重要的。

如果SX的子集,S的鄰域是集合V,它包含了包含S的開集U。可得出集合VS的鄰域,當且僅當它是在S中的所有點的鄰域。

鄰域的度量空間定義[編輯]

平面上的集合SS的均勻鄰域V

度量空間M = (X,d)中,集合V是點p的鄰域,如果存在以p為中心和半徑為r開球

它被包含在V中。

均勻鄰域[編輯]

V叫做集合S的均勻鄰域(uniform neighborhood),如果存在正數r使得對於S的所有元素p

被包含在V中。

對於r>0集合Sr-鄰域X中與S的距離小於r的所有點的集合(或等價的說是以S中一個點為中心半徑為r的所有開球的併集)。

可直接得出r-鄰域是均勻鄰域,並且一個集合是均勻鄰域當且僅當它包含對某個r值的r-鄰域。
參見一致空間

非均勻鄰域的例子[編輯]

給定實數帶有平常的歐幾里得度量和如下定義的子集V

V自然數集合N的鄰域,但它不是這個集合的均勻鄰域,因為並不是一個固定值。

去心鄰域[編輯]

的去心鄰域(英語:deleted neighbourhoodpunctured neighbourhood)是點 的鄰域中減去 後得到的差集。例如,區間 實數軸上的鄰域,因此集合 的一個去心鄰域。需注意的是,給定點的去心鄰域實際上不是該點的鄰域。在討論函數極限時,會用到去心鄰域的概念。

基於鄰域的拓撲[編輯]

上述定義適用於開集的概念早已定義的情況。有另一種方式來定義拓撲,也就是先定義鄰域系統,再定義開集:若集中每個點皆有一個鄰域被包含於集中,則為開集。

X上的鄰域系統是濾子N(x)(在集合X上)到每個X中的x的指派,使得

  1. x是每個N(x)中的U的元素,
  2. 每個N(x)中的U包含某個N(x)中的V使得對於每個V中的y有着UN(y)中。

可以證明這兩個定義是兼容的,就是說從使用開集定義的鄰域系統獲得的拓撲就是最初的拓撲,反之從鄰域系統出發亦然。

引用[編輯]

  • Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256. 
  • Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263. 
  • Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948. 

參見[編輯]