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機率公理

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概率公理(英語:Probability axioms)是概率論的公理,任何事件發生的概率的定義均滿足概率公理。因其提出者為安德烈·柯爾莫果洛夫,也被人們熟知為柯爾莫果洛夫公理Kolmogorov axioms)。

某個事件的概率是定義在「全體」(universe)或者所有可能基礎事件的樣本空間時,概率必須滿足以下柯爾莫果洛夫公理。

也可以說,概率可以被解釋為定義在樣本空間的子集的σ代數上的一個測度,那些子集為事件,使得所有集的測度為。這個性質很重要,因為這裏提出條件概率的自然概念。對於每一個非零概率A都可以在空間上定義另外一個概率:

這通常被讀作「給定A時B的概率」。如果給定A時B的條件概率與B的概率相同,則A與B被稱為是獨立的

當樣本空間是有限或者可數無限時,概率函數也可以以基本事件定義它的值,這裏

柯爾莫果洛夫公理[編輯]

假設我們有一個基礎集,其子集的集合σ代數,和一個給的元素指定一個實數的函數的元素是的子集,稱為「事件」。

第一公理(非負性)[編輯]

對於任意一個集合, 即對於任意的事件

即,任一事件的概率都可以用區間上的一個實數來表示。

第二公理(歸一化)[編輯]

即,整體樣本集合中的某個基本事件發生的概率為1。更加明確地說,在樣本集合之外已經不存在基本事件了。

這在一些錯誤的概率計算中經常被小看;如果你不能準確地定義整個樣本集合,那麼任意子集的概率也不可能被定義。

第三公理(可加性)[編輯]

任意兩兩不相交事件可數序列滿足

即,不相交子集的並的事件集合的概率為那些子集的概率的和。這也被稱為是σ可加性。如果存在子集間的重疊,這一關係不成立。

如想通過代數了解柯爾莫果洛夫的方法,請參照隨機變數代數

概率論引理[編輯]

從柯爾莫果洛夫公理可以推導出另外一些對計算概率有用的法則。

這一關係給出了貝葉斯定理。以此可以得出A和B是獨立的當且僅當

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