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高斯整數

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高斯整數是複數面上的整點。
各式各樣的
基本

NumberSetinC.svg

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

高斯整數實數虛數部分都是整數複數。所有高斯整數組成了一個整域,寫作,是個不可以轉成有序環歐幾里得整環

高斯整數的範數都是非負整數,定義為

單位元素的範數均為

作為唯一分解整環[編輯]

高斯整數形成了一個唯一分解整環,其可逆元素

質元素又稱為高斯質數

高斯整數是質數當且僅當

  • 中有一個是零,另一個是形為或其相反數的質數

  • 均不為零,而為質數。
高斯質數的分佈

以下給出這些條件的證明。

必要條件的證明為:僅當高斯整數的範數是質數,或質數的平方時,它才是高斯質數。這是因為對於任何高斯整數。現在,是整數,因此根據算術基本定理,它可以分解為質數的乘積。根據質數的定義,如果是質數,則它可以整除,對於某個。另外,可以整除,因此。於是現在只有兩種選擇:要麼的範數是質數,要麼是質數的平方。

如果實際上對於某個質數,有,那麼都能整除。它們都不能是可逆元素,因此,以及,其中是可逆元素。這就是說,要麼,要麼,其中

然而,不是每一個質數都是高斯質數。就不是高斯質數,因為。高斯質數不能是的形式,因為根據費馬平方和定理,它們可以寫成的形式,其中是整數,且。剩下的就只有形為的質數了。

形為的質數也是高斯質數。假設,其中是質數,且可以分解為。那麼。如果這個分解是非平凡的,那麼。但是,任何兩個平方數的和都不能寫成的形式。因此分解一定是平凡的,所以是高斯質數。

類似地,乘以一個形為的質數也是高斯質數,但乘以形為的質數則不是。

如果是範數為質數的高斯整數,那麼是高斯質數。這是因為如果,那麼。由於是質數,因此一定是1,所以一定是可逆元素。

作為整閉包[編輯]

高斯整數環是高斯有理數中的整閉包,由實數部分和虛數部分都是有理數的複數組成。

作為歐幾里德環[編輯]

在圖中很容易看到,每一個複數與最近的高斯整數的距離最多為個單位。因此,是一個歐幾里德環,其中

未解決的問題[編輯]

高斯圓問題是中心為原點、半徑為給定值的圓內有多少格點的問題。它本身並不是關於高斯整數的,但等價於確定範數小於某個給定值的高斯整數的數目。

關於高斯整數,還有一些猜想和未解決的問題,例如:

實數軸和虛數軸含有無窮多個高斯質數。在複數平面上,還存在任何其它的直線上有無窮多個高斯質數嗎?特別地,實數部分為的直線上存在無窮多個高斯質數嗎?

在高斯質數上行走,步伐小於某個給定的值,可以走到無窮遠嗎?

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

  • C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-­34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-­148.
  • 從數到環:環論的早期歷史,由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)
  • Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5