本页使用了标题或全文手工转换

韦达定理

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

在数学上,韦达定理是一个公式 (英语:Vieta's formulas),给出多项式方程系数的关系,因而又被代称为根与系数。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现,并因此得名。韦达定理常用于代数领域。

韦达定理的实之处在于,它提供一个不用直接把根解出来的方法来计算根之间的关系。

叙述[编辑]

是一个一元 n 次(或)系数多项式,首项系数 ,令 P 的 n 个根为 ,则根 和系数 之间满足关系式

等价的说,对任何 k = 1, 2, ..., n,系数比 是所有任取 k 个根的乘积的和的 倍,即

其中 是要让所有的根的组合都恰好出现一次。

事实上,等号的左边被称作是初等对称多项式

证明[编辑]

因为 是一元 n 次多项式 的 n 个根。于是有

根据乘法原理展开右式,比较等号两边的各项系数可得

上式等同于韦达定理的叙述。

特例[编辑]

n=2[编辑]

是一元二次多项式 的两根,则由

这个特殊情况除之前提到的证明方法,也可以直接用解公式即 证明:

在这个情况下,韦达定理的逆定理同样成立:给定一个一元二次多项式 ,如果有两个数 ,满足 ,则 就是多项式 的两根。

n=3[编辑]

是一元三次多项式 的三根,则

推广至环[编辑]

韦达定理经常使用在讨论整环 R 上多项式,换言之多项式系数都落在 R 上。此时,分数 在 R 中不见得有定义,除非 本身是可逆元。但 在 R 的分式环 K 中有定义,而根 则在 K 的代数闭包 中有定义。特别的,如果 R 是整数环 ,则 K 是有理数域 复数域

如果多项式 P(x) 定义在一般非整环的交换环上,则韦达定理可能在两个地方出错。第一, 可能不是零因子,因此不能出现在分母。第二 P(x) 可能不等于 。第一点算是显而易见,以下给出一个第二点的例子。在环 中,多项式 有四个根 1、3、5、7,根数比多项式的次数还多。此外,如果随便取两根出来,例如 ,会发现 ,但是有时候如果根取的刚好,却又可能会有

历史[编辑]

在 16 世纪,韦达发现了所有根都是正整数的版本,至于一般的版本 (根是实数),可能首次由法国数学家 Albert Girard英语Albert Girard 提出。Funkhouser 引用了18 世纪英国数学家查尔斯·赫顿英语Charles Hutton的话写道[1]

...[Girard 是] 理解关于各次方项系数的和与积公式的一般性学说的第一人。他是找到关于将任意方程的根的次方加总的规则的第一人。

参考资料[编辑]

  • Djukić, Dušan; 等, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6 

参见[编辑]