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互質

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互質英文coprime符號:⊥,又稱互素、relatively prime、mutually prime、co-prime)[1]。在數論中,如果兩個或兩個以上的整數最大公因數1,則稱它們為互質[2]。依此定義:

  • 如果數體正整數 ,那麼 1 與所有正整數互質[3]
  • 如果數體整數 ,那麼 1-1 與所有整數互質[4],而且它們是唯一與 0 互質的整數[5]

兩個整數 ab 互質,記為 ab

互質的例子

例如 810 的最大公因數是 2,不是 1,因此它們並不互質。
又例如 7, 10, 13 的最大公因數是 1,因此它們互質。

最大公因數可以通過輾轉相除法得到。

整集互質與兩兩互質

三個或三個以上的整數互質有兩種不同的情況:

  • 這些整數的最大公因數是 1,我們直接稱這些整數互質[6],也稱為整集互質(英語:setwise coprime[7]。以 為例:
  • 這些整數是兩兩互質的(英語:pairwise coprime)。以 為例:

兩兩互質是較為嚴格的互質,如果一個整數集合是兩兩互質的,它也必定是整集互質,但是整集互質不必然是兩兩互質,甚至可能兩兩皆不互質,例如,是整集互質,但,任兩者皆不互質。

性質

性質之一:整數a和b互質若且唯若存在整數x,y使得xa+yb=1。 或者,一般的,有存在整數x,y使得xa+yb=d,其中d是a和b的最大公因數。(貝祖等式

判別方法

  1. 兩個不同的質數一定互質。例如,2與7、13與19。
  2. 一個質數,另一個不為它的倍數,這兩個數互質。例如,3與10、5與 26。
  3. 1和任何一個自然數都互質。如1和9908。
  4. 相鄰兩個自然數互質。如15與16。
  5. 相鄰兩個奇數互質。如49與51。
  6. 較大數是質數,則兩個數互質。如97與88。
  7. 兩數都是合數(二數差較大),較小數所有的質因數,都不是較大數的因數,這兩個數互質。如357與715,357=3×7×17,而3、7和17都不是715的因數,故這兩數互質。
  8. 兩數都是合數(二數差較小),這兩數之差的所有質因數都不是較小數的因數,這兩個數互質。如85和78。85-78=7,7不是78的因數,故這兩數互質。
  9. 兩數都是合數,較大數除以較小數的餘數(大於「1」)的所有質因數,都不是較小數的因數,則兩數互質。如 462與 221,462÷221=2...20,20=2×2×5。2、5都不是221的因數,故這兩數互質。
  10. 輾轉相除法。如255與182。255-182=73,182-(73×2)=36,73-(36×2)=1,則(255,182)=1。故這兩數互質。

參考來源

  1. ^ Eaton, James S. Treatise on Arithmetic. 1872. May be downloaded from: http://archive.org/details/atreatiseonarit05eatogoog
  2. ^ Number Theory in Science and Communication, p.28. [2014-10-19]. (原始內容存檔於2014-10-19). 
  3. ^ Wiktionary - coprime頁面存檔備份,存於網際網路檔案館) 以正整數為數體來定義互質。
  4. ^ ProofWiki > Definition:Coprime/Integers. [2014-10-19]. (原始內容存檔於2020-03-27). 
  5. ^ ProofWiki > Integers Coprime to Zero. [2014-10-19]. (原始內容存檔於2020-03-27). 
  6. ^ StackExchange > a problem with coprime numbers. [2014-10-19]. (原始內容存檔於2020-09-21). 
  7. ^ Algebra II: Chapters 4-7, p.14

外部參考