分劃

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分劃是數學中對於全序集的操作。對於給定的全序集及其中某個元素而言,將分拆為兩個非空集合,使得兩者其一中所有元素(按照順序)均在之前、另一真子集中所有元素均在之後。

常見的是對於全體有理數的操作,即。對於有理數,將有理數集合分拆為兩個非空集合,若滿足條件:

  1. ,關係式必有且只有一個成立。
  2. ,必有,並且兩者在不同時取等號時均成立。

則稱這樣的分拆為有理數的一個分劃,記為。其中集合稱為分劃的下組,集合稱為分劃的上組

分類[編輯]

根據分劃中是否有最大數、最小數,可以將分劃分為三種類型:

  1. 中有最大數,中無最小數
  2. 中無最大數,中有最小數
  3. 中無最大數,中無最小數

可以證明,「中有最大數,中有最小數」的情況並不存在。證明:因為如果A有最大數a,A'有最小數b,則根據分割的定義可知 a<b。但是 (a+b)/2 顯然也是有理數,並且a<(a+b)/2<b,因此 (a+b)/2 既不在 A 中, 也不在 A' 中,這就與 A∪A' 是全體有理數矛盾。
第三種情況揭示了在有理數域中存在這樣的一種"空隙"(之間的界數),這個"空隙"所對應的數既不屬於,也不屬於,因此它不是有理數,它所對應的數就是無理數,因此說第3種情況的分劃定義了一個無理數
作為一個直觀的理解,我們可以把上面三種分化分別看成 ,而「中有最大數、中有最小數」的情況就是 ,中間的分劃點 d 同時(不合法地)屬於兩邊集合。

例子[編輯]

  1. 將所有小於或等於0的有理數劃分為集合,將所有餘下的有理數(即大於0的有理數)劃分為集合,則是一個分劃,並屬於上述分類中的第1種情形。
  2. 將所有小於0的有理數劃分為集合,將所有餘下的有理數(即大於或等於0的有理數)劃分為集合,則是一個分劃,並屬於上述分類中的第2種情形。
  3. 將所有小於或等於0、其平方小於或等於3的正有理數(即滿足的數)劃分到集合,將餘下的有理數(即其平方大於3的正有理數)劃分到集合,則是一個分劃,並屬於上述分類中的第3種情形,此時分劃定義了無理數

參閱[編輯]

參考文獻[編輯]