覆疊空間

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拓撲學中,拓撲空間覆疊空間是一對資料,其中是拓撲空間,連續滿射,並存在的一組開覆蓋

使得對每個,存在一個離散拓撲空間同胚,而且是對第一個坐標的投影。

滿足上述性質的稱為覆疊映射。當連通時,基數是個常數,稱為覆疊的次數重數

空間的覆疊構成一個範疇,其對象形如,從態射是連續映射,且

例子[編輯]

覆疊空間的例子:
  • 考慮映射。對任意,取其開鄰域

由此可見是覆疊映射。

  • 莫比烏斯帶的二重覆疊空間是

性質[編輯]

局部性質 對於任何一個覆疊都是一個局部同胚,這就是說,對任意的,都存在一個在C中的開鄰域U,和p(c)在X中的開鄰域V,使得p在U上的限制誘導U到V上的同胚。這說明C和X在局部上的拓撲性質是一樣的。如果X是單連通的且C是連通的,則在整體上也成立,並且覆疊p變為同胚。 纖維上的同胚

萬有覆疊空間[編輯]

連通空間萬有覆疊空間(若其存在)是範疇初始對象,換言之,對每個覆疊,存在唯一的連續映射使得。萬有覆疊若存在則必唯一。之前的便是一例。

若要求局部道路連通且局部單連通,則萬有覆疊空間存在。這類空間的主要例子有流形單純複形。在同樣前提下,覆疊是萬有覆疊的充要條件是基本群

正則覆疊及主叢[編輯]

以下同樣要求連通、局部道路連通且局部單連通。對於覆疊映射,選定。在中的自同構群在纖維上的作用是自由的(即:是單射),對於的不同選取,此作用僅差個自然的同構。

的作用是傳遞的,則稱正則覆疊。萬有覆疊必正則,反之則不然。按照纖維叢的觀點,覆疊空間正是離散纖維的纖維叢,正則覆疊對應到主叢

文獻[編輯]